Question

 (本小題滿(mǎn)分15分)

數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意，總有成等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，且，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)（是常數(shù)，

＝2．71828）和任意正整數(shù)，總有 2；

（3） 正數(shù)數(shù)列中，．求數(shù)列中的最大項(xiàng)．

Answer 1

（1）解：由已知：對(duì)于，總有 ①成立

∴   （n ≥ 2）②  

①--②得∴

∵均為正數(shù)，∴   （n ≥ 2） ∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列                

又n=1時(shí)，，解得=1∴．（）    

（2）證明：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)和任意正整數(shù)n，總有≤．

∴

（3）解：由已知  ，

        易得　       猜想 n≥2 時(shí)，是遞減數(shù)列． 

令

∵當(dāng)∴在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)．

由．∴n≥2 時(shí)，是遞減數(shù)列．即是遞減數(shù)列．

又 ，∴數(shù)列中的最大項(xiàng)為．