Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2﹣2an+1+an=0（n∈N*），a2=4，其前7項(xiàng)和為42，設(shè)數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn滿(mǎn)足b1=a1﹣1，S30﹣（310+1）S20+310S10=0．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令cn=1+log3 ，dn= + ，求證：數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和Tn≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2﹣2an+1+an=0（a∈N*），∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d．

∵a2=4，其前7項(xiàng)和為42，∴a1+d=4，7a1+ d=42，

解得a1=3，d=1．∴an=3+（n﹣1）=n+2．

設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，b1=a1﹣1=2，

S30﹣（310+1）S20+310S10=0．

∴ =310=q10，解得q=3．

∴bn=2×3n﹣1

（2）證明：cn=1+log3 =n，

dn= + = =2+2 ，

∴數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和Tn=2n+2 + +…+

=2n+3﹣2 ，

可得：數(shù)列{Tn}是單調(diào)遞增數(shù)列，∴Tn≥T1=5﹣2× =

【解析】（1）由數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2﹣2an+1+an=0（a∈N*），可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出an ． 設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，b1=a1﹣1=2，S30﹣（310+1）S20+310S10=0．可得 =310=q10 ， 解得q，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）cn=n，dn= =2+2 ，利用“裂項(xiàng)求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．