Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=，把方程f（x）-x=0的根按從小到大順序排成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=_________。

Answer 1

【答案】

【解析】解答：

當(dāng)時(shí),有,則，

當(dāng)時(shí),有,則，

當(dāng)時(shí),有,則，

當(dāng)時(shí),有,則，

以此類推,當(dāng) (其中)時(shí),則，

所以,函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)為：(0,1)和(1,2)，

由于指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)且圖象下凸，故它們只有這兩個(gè)交點(diǎn)。

然后①將函數(shù)和y=x+1的圖象同時(shí)向下平移一個(gè)單位,即得到函數(shù)和的圖象，

取的部分,可見它們有且僅有一個(gè)交點(diǎn)(0,0).

即當(dāng)時(shí),方程有且僅有一個(gè)根x=0.

②取①中函數(shù)和圖象的部分，再同時(shí)向上和向右各平移一個(gè)單位，

即得和y=x在0<x1上的圖象,此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋�(gè)交點(diǎn)(1,1).

即當(dāng)0<x1時(shí),方程f(x)x=0有且僅有一個(gè)根x=1.

③取②中函數(shù)和y=x在0<x1上的圖象，繼續(xù)按照上述步驟進(jìn)行，

即得到和y=x在1<x2上的圖象,此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋�(gè)交點(diǎn)(2,2).

即當(dāng)1<x2時(shí),方程f(x)x=0有且僅有一個(gè)根x=2.

④以此類推,函數(shù)y=f(x)與y=x在(2,3],(3,4],…,(n,n+1]上的交點(diǎn)依次為(3,3),(4,4),…(n+1,n+1).

即方程f(x)x=0在(2,3],(3,4],…(n,n+1]上的根依次為3，4，…，n+1.

綜上所述方程f(x)x=0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為：

0，1，2，3，4，…，

∴該數(shù)列的前n項(xiàng)和,n∈N+.

故答案為： .