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【題目】若函數對任意的均有則稱函數具有性質

（Ⅰ）判斷下面兩個函數是否具有性質并說明理由.

①②

（Ⅱ）若函數具有性質,且

求證:對任意有

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,是否對任意均有若成立,給出證明;若不成立,給出反例.

【答案】（1）具有,不具有（2）見解析（3）不成立

【解析】試題分析：（1）肯定結論需證明：根據定義比較大小，作差，提取因子，再利用基本不等式可得結論；對于否定結論，只需舉一個反例即可，（2）利用反證法證明，由于條件滿足差值單調遞增，利用累加可得矛盾，（3）構造一個反例說明不成立，一般舉分段函數，分有理數與無理數進行列式.

試題解析：解:（Ⅰ）①函數具有性質

因為即

此函數為具有性質

②函數不具有性質

例如,當時,

所以此函數不具有性質

（Ⅱ）假設為中第一個大于的值,則

因為函數具有性質所以對于任意的均有

所以

所以

與矛盾,

所以,對任意的有

（Ⅲ）不成立.

例如.

證明:當為有理數時, 均為有理數,

當為無理數時, 均為無理數,

所以,函數對任意的,均有

即函數具有性質

而當且當為無理數時,

所以,在（Ⅱ）的條件下,“對任意的均有”不成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的離心率為，且過點．

求橢圓的標準方程；

設直線l經過點且與橢圓C交于不同的兩點M，N試問：在x軸上是否存在點Q，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值？若存在，求出點Q的坐標及定值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若存在實常數和，使得函數和對其公共定義域上的任意實數都滿足： 和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數, ,有下列命題：

①在內單調遞增；

②和之間存在“隔離直線”，且的最小值為-4；

③和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是；

④和之間存在唯一的“隔離直線”.

其中真命題的個數有( )

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列滿足a1＝m，an＋1＝ (k∈N*，r∈R)，其前n項和為.

(1)當m與r滿足什么關系時，對任意的n∈N*，數列{an}都滿足an＋2＝an?

(2)對任意實數m，r，是否存在實數p與q，使得{a2n＋1＋p}與{a2n＋q}是同一個等比數列.若存在，請求出p，q滿足的條件；若不存在，請說明理由；

(3)當m＝r＝1時，若對任意的n∈N*，都有Sn≥λan，求實數λ的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某中學高一女生共有450人，為了了解高一女生的身高情況，隨機抽取部分高一女生測量身高，所得數據整理后列出頻率分布表如下：

組別

頻數

頻率

145.5～149.5

8

0.16

149.5～153.5

6

0.12

153.5～157.5

14

0.28

157.5～161.5

10

0.20

161.5～165.5

8

0.16

165.5～169.5



合計



（1）求出表中字母所對應的數值；

（2）在給出的直角坐標系中畫出頻率分布直方圖；

（3）估計該校高一女生身高在149.5～165.5范圍內有多少人？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

(Ⅰ)若，求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ)若，判斷函數的零點個數，并說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列{an}滿足a1＝3，a2，且2an+1＝3an﹣an-1.

（1）求證：數列{an+1﹣an}是等比數列，并求數列{an}通項公式；

（2）求數列{nan}的前n項和為Tn，若對任意的正整數n恒成立，求k的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某大學高等數學這學期分別用兩種不同的數學方式試驗甲、乙兩個大一新班（人數均為60人，入學數學平均分和優(yōu)秀率都相同；勤奮程度和自覺性都一樣）.現隨機抽取甲、乙兩班各20名的高等數學期末考試成績，得到莖葉圖。 學校規(guī)定：成績不得低于85分的為優(yōu)秀

（1）根據以上數據填寫下列的的列聯(lián)表

甲

乙

總計

成績優(yōu)秀

成績不優(yōu)秀

總計

（2）是否有的把握認為成績優(yōu)異與教學方式有關？”(計算保留三位有效數字)

下面臨界值表僅供參考：

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為正三角形，側棱AA1⊥底面ABC.已知D是BC的中點，AB=AA1=2.

（I）求證：平面AB1D⊥平面BB1C1C；

（II）求證：A1C∥平面AB1D；

（III）求三棱錐A1-AB1D的體積.

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