Question

【題目】已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同時(shí)滿足條件：
①x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0；
②x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0，則m的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】(－4，－2)
【解析】 g(x)=2x4>0 時(shí) x>2
當(dāng)x﹤1時(shí)，g(x)﹤0，
又∵①x∈R，f（x）＜0或g(x)﹤0，
∴f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＜0在x≥1時(shí)恒成立

則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開口只能向下，且二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)都在（1,0）的左面
則
∴-4＜m＜0，即①成立的范圍為-4＜m＜0
又∵②∈（-∞，-4），f（x） g(x)＜0
∴此時(shí)g(x)=2x-2＜0恒成立
f（x） =m（x-2m）（x+m+3）>0在x∈（-∞，-4）有成立的可能，則只要-4比x1 ， x2中的較小的根大即可，
（i）當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，較小的根為-m-3，-m-3＜-4不成立
（ii）當(dāng)m=-1時(shí)，兩個(gè)根同為-2>-4，不成立
（iii）當(dāng)-4＜m＜-1時(shí)，較小的根為2m，2m＜-4，即m＜-2成立.
綜上可得①②成立時(shí)-4＜m＜-2.
故答案為：（-4，-2）
根據(jù)題意當(dāng)x的取值范圍不同時(shí)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解出f(x) >0或f(x) <0的x的解集，進(jìn)而得到關(guān)于m的不等式組解出m的解集即可。