Question

（2007•溫州一模）已知f(x)=

3

+2sinxcosx-2

3

sin2x，
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用降冪公式和輔助角公式，將f（x）進(jìn)行整理，得f（x）=2sin(2x+

π

3

)，然后根據(jù)正弦函數(shù)周期的公式可得函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，將2x+

π

3

當(dāng)成一個整體，解不等式

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得到的x的解集，寫成區(qū)間就是函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

+2sinxcosx-2

3

sin2x=

3

+sin2x-

3

(1-cos2x)
=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)…（5分）
∴f（x）的最小正周期為

2π

2

=π    …（7分）
（Ⅱ）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

 +2kπ，k∈Z      …．（10分）
得

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

 +kπ，k∈Z
則函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]，k∈Z…（14分）

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查了輔助角公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點(diǎn)，屬于中檔題．