Question

已知冪函數(shù),且在上單調(diào)遞增.
(1)求實(shí)數(shù)的值,并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式;
(2)若在區(qū)間上不單調(diào),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)試判斷是否存在正數(shù),使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b0/d/k6zdy2.png" style="vertical-align:middle;" />若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1) 或, (2)  (3)

解析試題分析：(1)由題意知,解得:.   2分
又 ∴或,   3分
分別代入原函數(shù),得.   4分
(2)由已知得.   5分
要使函數(shù)不單調(diào)，則，則.   8分
(3)由已知,.    9分
法一:假設(shè)存在這樣的正數(shù)符合題意,
則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線,其對(duì)稱軸為,
因而,函數(shù)在上的最小值只能在或處取得,
又,
從而必有,解得.
此時(shí),,其對(duì)稱軸,
∴在上的最大值為,符合題意.
∴存在,使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b0/d/k6zdy2.png" style="vertical-align:middle;" />14分法二:假設(shè)存在這樣的正數(shù)符合題意,
由(1)知,
則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線,其對(duì)稱軸為,

考點(diǎn)：冪函數(shù)及二次函數(shù)單調(diào)性最值
點(diǎn)評(píng)：第二問(wèn)中二次函數(shù)不單調(diào)需滿足對(duì)稱軸在給定區(qū)間內(nèi)，第三問(wèn)關(guān)于最值的考查需注意對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系，從而確定給定區(qū)間上的單調(diào)性得到最值，一般求解時(shí)都要分情況討論