Question

【題目】給出下列條件：①焦點(diǎn)在軸上；②焦點(diǎn)在軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于；④拋物線的準(zhǔn)線方程是.

（1）對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線：從以上四個(gè)條件中選出兩個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使得拋物線的方程是，并說明理由；

（2）過點(diǎn)的任意一條直線與交于，不同兩點(diǎn)，試探究是否總有？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）選擇條件①③;詳見解析（2）總有，證明見解析

【解析】

（1）通過焦點(diǎn)位置可判斷條件①適合，條件②不適合，通過準(zhǔn)線方程，可判斷條件④不適合，利用焦半徑公式可判斷條件③適合；

（2）假設(shè)總有，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得結(jié)果.

解：（1）因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)在軸上，所以條件①適合，條件②不適合.

又因?yàn)閽佄锞�的準(zhǔn)線方程為：，

所以條件④不適合題意，

當(dāng)選擇條件③時(shí)，，

此時(shí)適合題意，

故選擇條件①③時(shí)，可得拋物線的方程是；

（2）假設(shè)總有，

由題意得直線的斜率不為，

設(shè)直線的方程為，

由得

設(shè)，

所以恒成立，，，

則，

所以，

所以，

綜上所述，無論如何變化，總有.