Question

(1)一個(gè)半徑為r的扇形,若它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓的長(zhǎng),那么扇形的圓心角是多少弧度?扇形的面積是多少?

(2)已知一扇形的周長(zhǎng)為c(c＞0),當(dāng)扇形的中心角為多大時(shí),它有最大的面積?

Answer 1

解:(1)設(shè)扇形的圓心角是θ弧度,則扇形的弧長(zhǎng)是rθ,扇形的周長(zhǎng)是2r+rθ.

    由題意可知2r+rθ=πr.

    ∴θ=π-2(弧度).

    扇形的面積為S=r²θ=r²(π-2).

    (2)設(shè)扇形的半徑為r,中心角為θ弧度,扇形的面積為S,則c=2r+rθ,r=,S=r²θ=.

    對(duì)此方程,求最值有如下三種方法:

    方法一:考慮到運(yùn)用判別式法求分式函數(shù)的最值,則有

    2Sθ²+(8S-c²)θ+8S=0,又θ有實(shí)數(shù)解,

    ∴Δ=(8S-c²)²-4·2S·8S≥0,即S≤.

    將S=代入上述方程,得θ²-4θ+4=0,解得θ=2.

    ∴當(dāng)扇形中心角θ=2弧度時(shí),扇形有最大面積S_max=.

    方法二:若考慮到運(yùn)用均值不等式,則有S=r²θ=·2r·rθ≤()²=·()²=.當(dāng)且僅當(dāng)2r=rθ,即θ=2時(shí),取“=”.

    方法三:S==≤=.

    當(dāng)且僅當(dāng)θ=2時(shí)取“=”.

講評(píng):本題主要考查弧度與角度的換算,弧長(zhǎng)公式及扇形面積計(jì)算公式.(2)中運(yùn)用了三種不同方法求得面積的最大值,請(qǐng)讀者比較三種解法的優(yōu)劣,體會(huì)不同解題思路的形成過(guò)程,從而優(yōu)化解題結(jié)構(gòu).