Question

【題目】已知函數(shù)，

(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)的極值.

Answer 1

【答案】(1)時(shí)， 遞減； 時(shí)， 遞增.

(2)見解析.

【解析】分析：（1）將代入函數(shù)中，求導(dǎo)得，令可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求導(dǎo)可得，對(duì)參數(shù)分三種情況進(jìn)行討論，判斷每種情況下的正負(fù)，進(jìn)而可得函數(shù)的增減性，得其極值情況.

詳解： (1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其導(dǎo)數(shù)為

.當(dāng)時(shí)，

設(shè)，則，顯然時(shí)遞增；

時(shí)， 遞減/span>，故，于是，

所以時(shí)， 遞減； 時(shí)， 遞增；

(2)由(1)知， .

函數(shù)在遞增在遞減所以

又當(dāng)時(shí)， ，

①當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)；

因?yàn)?/span>時(shí)， 遞增； 時(shí)， 遞減；

所以無(wú)極小值；

②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；

因?yàn)?/span>時(shí)，遞減；時(shí).遞增；

所以，無(wú)極大值；

③當(dāng)時(shí)，

又在遞增所以在上有唯一零點(diǎn)，且.

易證： 時(shí)， ，所以，

所以

又在遞減，所以在上有唯一零點(diǎn)，且，故：

當(dāng)時(shí)， 遞減；當(dāng)， 遞增；

當(dāng)時(shí)， 遞減；當(dāng)， 遞增；

所以， ， ，

.