Question

已知函數上的最小值是a_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）證明；
（3）在點列A_n（2n，a_n）中，是否存在兩點A_i，A_j（i，j∈N^*）使直線A_iA_j的斜率為1？若存在，求出所有數對（i，j），若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵…（2分）
當且僅當
即時，
f（x）取得最小值，
∴．…（4分）
（2）證明∵，…（6分）
∴
=．…（9分）
（3）不存在．
設A_i（2i，a_i），A（2j，a_j），（其中i，j∈N^*），
則…（10分）
=…（12分）
=．
故不存在存在兩點A_i，A_j（i，j∈N^*）使直線A_iA_j的斜率為1．…（14分）
分析：（1）由，知當且僅當時，f（x）取得最小值，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由，能夠證明．
（3）設A_i（2i，a_i），A（2j，a_j），則==．故不存在存在兩點A_i，A_j（i，j∈N^*）使直線A_iA_j的斜率為1．
點評：本題考查數列與不等式的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．