【題目】給定數(shù)列.對(duì),該數(shù)列前項(xiàng)的最小值記為,后項(xiàng)的最大值記為,令.

1)設(shè)數(shù)列2,1,63,寫出,的值;

2)設(shè)是等比數(shù)列,公比,且,證明:是等比數(shù)列;

3)設(shè)是公差大于0的等差數(shù)列,且,證明:是等差數(shù)列.

【答案】1,,;(2)證明見解析;(3)證明見解析

【解析】

1)求出的值,并結(jié)合,可求出,的值;

2)易知數(shù)列是遞減數(shù)列,從而可知時(shí),,,可得,且,進(jìn)而可得,從而可知為定值,即可證明結(jié)論成立;

3是等差數(shù)列,先用反證法證明是單調(diào)遞減數(shù)列,再用反證法證明為數(shù)列中的最大項(xiàng),從而可知,則,進(jìn)而可證明結(jié)論成立.

1)由題意,,則;

,則;

,則.

2)因?yàn)?/span>是等比數(shù)列,公比,且,所以數(shù)列是遞減數(shù)列,

時(shí),,所以,且,

所以時(shí),,

所以,即是等比數(shù)列.

3)由是公差大于0的等差數(shù)列,且,可知.

①先用反證法證明是遞減數(shù)列,

假設(shè)不是遞減數(shù)列,設(shè)是第一個(gè)使得成立的項(xiàng),則,,所以,即,與相矛盾,

所以是單調(diào)遞減數(shù)列.

②再用反證法證明為數(shù)列中的最大項(xiàng),

假設(shè)不是數(shù)列的最大項(xiàng),即存在使得成立,

時(shí),滿足,則,,故,與矛盾,即;

時(shí),滿足,則,,故,與矛盾,

所以為數(shù)列中的最大項(xiàng).

綜上,是單調(diào)遞減數(shù)列,且為數(shù)列中的最大項(xiàng),

,即,

時(shí),

,

所以是等差數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.B.C.D.

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n的值可能為2

當(dāng),且時(shí),的圖象可能關(guān)于直線對(duì)稱

當(dāng)時(shí),有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)ω,使得上單調(diào)遞增;

不等式恒成立

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為( )

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A.B.C.D.

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