Question

【題目】（用空間向量坐標(biāo)表示解答）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn)．

（1）求證：AC1∥面B1CD
（2）求直線AA1與面B1CD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB，CC1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A（2，0，0），C1（0，0，2），C（0，0，0），D（1，1，0），B1（0，2，2），

∴ =（﹣2，0，2）， =（1，1，0）， =（0，2，2）．

設(shè)平面B1CD的法向量為 =（x，y，z）．則 ， =0，

∴ ，令z=1，得 =（1，﹣1，1）．

∴ =﹣2+0+2=0，

∵AC1平面B1CD，

∴AC1∥面B1CD．

（2）解： = =（0，0，2），

∴ =2，| |=2， = ，

∴cos＜ ， ＞= = ．

∴直線AA1與面B1CD所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面B1CD的法向量 ，只需證明 ⊥ 即可；（2）直線AA1與面B1CD所成角的正弦值為|cos＜ ， ＞|．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．