【題目】如圖,已知四棱錐 中,
.
(1)證明:頂點(diǎn)在底面
的射影在
的平分線上;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)余弦值為.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意作出底面
,分別作
,垂直分別為
,連接
,證明
,進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義得到結(jié)論;(2)建立坐標(biāo)系,計(jì)算兩個(gè)面的二面角,再由公式得到兩個(gè)法向量的夾角。
解析:
(1)設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)
在底面
的射影,連接
,則
底面
,
分別作,垂直分別為
,連接
,
因?yàn)?/span>底面
,
底面
,所以
,
又
,所以
平面
平面
,
所以,
同理,即
,
又,所以
,
所以,又
,所以
,
所以,所以
為
的平分線.
(2)以為原點(diǎn),分別以
所在直線為
軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
,
因?yàn)?/span>,所以
,因?yàn)?/span>
為
的平分線,
所以,所以
,
則,
所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
則 ,可取
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
則由,可取
,
所以 ,
所以二面角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是
,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為
軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線
的參數(shù)方程是
(
為參數(shù)).
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線
相交于
兩點(diǎn),且
,求直線
的傾斜角
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.
(1)若對(duì)于x∈R,f(x)<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若對(duì)于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列:
滿足:
,
或1(
).對(duì)任意
,都存在
,使得
.,其中
且兩兩不相等.
(I)若.寫出下列三個(gè)數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號(hào);
①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2
(Ⅱ)記.若
,證明:
;
(Ⅲ)若,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某課外實(shí)習(xí)作業(yè)小組調(diào)查了1000名職場(chǎng)人士,就入職兩家公司的意愿做了統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù)分布:
(1)請(qǐng)分別計(jì)算40歲以上(含40歲)與40歲以下全體中選擇甲公司的頻率(保留兩位小數(shù)),根據(jù)計(jì)算結(jié)果,你能初步得出什么結(jié)論?
(2)若分析選擇意愿與年齡這兩個(gè)分類變量,計(jì)算得到的的觀測(cè)值為
,測(cè)得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率的上限是多少?并用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析,選擇意愿與年齡變量和性別變量哪一個(gè)關(guān)聯(lián)性更大?
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)
,以原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
,過點(diǎn)
作極坐標(biāo)方程為
的直線的平行線
,分別交曲線
于
兩點(diǎn).
(1)寫出曲線和直線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若成等比數(shù)列,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知經(jīng)過兩點(diǎn)的圓
半徑小于5,且在
軸上截得的線段長(zhǎng)為
.
(1)求圓的方程;
(2)已知直線,若
與圓
交于
兩點(diǎn),且以線段
為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的離心率為
,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線
相切.
、
是橢圓
的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn),直線
與橢圓相交于
、
兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)四邊形面積取最大值時(shí),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的,
,
,
四項(xiàng)參賽作品,只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:
甲說:“是或
作品獲得一等獎(jiǎng)”;
乙說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”;
丙說:“,
兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;
丁說:“是作品獲得一等獎(jiǎng)”.
若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是__________.
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