如圖,三棱柱中,側(cè)棱與底面垂直,,,分別是的中點(diǎn)
(1)求證:∥平面;
(2)求證:⊥平面;
(3)求三棱錐的體積的體積.
(1)證明過程詳見解析;(2)證明過程詳見解析;(3).
【解析】
試題分析:本題主要以三棱柱為幾何背景考查線面平行、線面垂直和幾何體體積等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.第一問,先根據(jù)題意作出輔助線,在中,利用中位線的性質(zhì)得,再由線面平行的判定,得證;第二問,由已知條件可以判斷四邊形是正方形,所以對(duì)角線互相垂直,所以,又由于第一問得,所以,再由已知證即可,由已知邊長(zhǎng),得,所以,所以為等腰三角形,而為中點(diǎn),所以為高,得證,再利用線面垂直的判定即可得證;第三問,利用等體積法將三棱錐進(jìn)行轉(zhuǎn)化,找到已知條件求體積.
試題解析:(1)證明:連結(jié),顯然過點(diǎn)
∵分別是的中點(diǎn), ∴,
又平面,平面,∴平面,
(2)∵三棱柱中,側(cè)棱與底面垂直,,
∴四邊形是正方形,∴,
由(1)知,∴,
連結(jié),由,知,
∴,又易知是的中點(diǎn),∴,
∴平面.
(3)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031805443108626494/SYS201403180546437204595247_DA.files/image029.png">,所以三棱錐與三棱錐的體積相等,
故.
考點(diǎn):1.中位線的性質(zhì);2.線面平行的判定;3.三角形全等;4.線面垂直的判定;5.等體積法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年陜西西安高三第十二次適應(yīng)性訓(xùn)練文數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:解答題
如圖在三棱柱中,側(cè)棱底面,為的中點(diǎn), ,.
(1)求證:平面;
(2)求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012年海南省高一上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試數(shù)學(xué) 題型:選擇題
如圖,三棱柱中,側(cè)棱底面,底面三角形是正三角形,是中點(diǎn),則下列敘述正確的是:
A.與是異面直線 B.平面
C.,為異面直線,且 D.平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆寧夏中衛(wèi)市海原一中高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型:選擇題
如圖,三棱柱中,側(cè)棱底面,底面三角形是正三角形,是中點(diǎn),則下列敘述正確的是( )
A.與是異面直線
B.平面
C.平面
D.,為異面直線,且
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年浙江省高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)卷 題型:選擇題
如圖,三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,底面三角形是正三角形,是中點(diǎn),則下列敘述正確的是( )
A.與是異面直線 B.平面
C.,為異面直線,且 D.平面
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