Question

在平行四邊形OABC中，已知過點(diǎn)C的直線與線段OA，OB分別相交于點(diǎn)M，N．若

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

．
（1）求證：x與y的關(guān)系為y=

x

x+1

；
（2）設(shè)f(x)=

x

x+1

，定義在R上的偶函數(shù)F（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)F（x）=f（x），且函數(shù)F（x）圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求證：F（x+2）=F（x），并求x∈[2k，2k+1]（k∈N）時(shí)的解析式；
（3）在（2）的條件下，不等式F（x）＜-x+a在x∈[2k，2k+1]（k∈N）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等以及平行線分線段成比例可得x與y的關(guān)系．
（2）F（x）圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱?F（2-x）=F（x）?F（x+2）=F（-x）再利用F（x）=F（-x）可得F（x+2）=F（x）．
在把x∈[2k，2k+1]轉(zhuǎn)化為x-2k∈[0，1]，利用x∈[0，1]時(shí)F（x）=f（x）可得x∈[2k，2k+1]（k∈N）時(shí)的解析式．
（3）利用轉(zhuǎn)化的思想把F（x）＜-x+a轉(zhuǎn)化為a＞1+x-

1

x-2k+1

對(duì)x∈[2k，2k+1]（k∈N）恒成立，再求后面的最大值即可．

解答：解：（1）利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等以及平行線分線段成比例可得：

| OM |

| OA |

=

| OM |

| CB |

=

| ON |

| NB |

（2分），
又由

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

；
∴x=

y

1-y

，從而y=

x

1+x

．（4分）
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，F(x)=

x

x+1

．
∵F（x）圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴F（2-x）=F（x），（5分）
∴F（x+2）=F（-x），又F（x）為偶函數(shù)，
∴F（x+2）=F（x）．（7分）
設(shè)x∈[2k，2k+1]，則x-2k∈[0，1]，（8分）
∴F(x-2k)=

x-2k

x-2k+1

，即F(x)=

x-2k

x-2k+1

．（10分）

（3）不等式為

x-2k

x-2k+1

＜-x+a，（12分）
∴a＞1+x-

1

x-2k+1

對(duì)x∈[2k，2k+1]（k∈N）恒成立，
因此a＞(1+x-

1

x-2k+1

)max．（14分）
∵1+x-

1

x-2k+1

在x∈[2k，2k+1]上單調(diào)遞增，
∴x=2k+1時(shí)其最大值為2k+

3

2

，
∴a＞2k+

3

2

，即a∈(2k+

3

2

，+∞)（k∈N）．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)向量和函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對(duì)稱性和恒成立問題的綜合考查，是一道綜合性極強(qiáng)的好題．