Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，且

為等邊三角形，平面平面；點分別為的中點．

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

(1)求解線面平行，根據(jù)題意，連接相應(yīng)的中位線，根據(jù)中位線的關(guān)系可得，四邊形是平行四邊形.

(2) 設(shè)的中點為， 可證兩兩垂直，以點為原點，為軸，為軸，為軸建立坐標系，然后求出平面的法向量，最后利用向量的內(nèi)積關(guān)系即可求解出直線與平面所成角的正弦值.

（1）設(shè)的中點為，連接，

為的中點，所以為的中位線，

則可得，且；

在梯形中，，且，

，

所以四邊形是平行四邊形，

，又平面，平面，

平面．

法二：設(shè)為的中點，連接，

為的中點，

所以是的中位線，所以，

又平面，平面，

平面，

又在梯形中，，且，

所以四邊形是平行四邊形，

，

又平面，平面，

平面，

又，

所以平面平面，

又平面，

平面．

（2）設(shè)的中點為，又．

因為平面平面，交線為，平面，

平面，

又由，，

．

即有兩兩垂直，如圖，以點為原點，為軸，為軸，為軸建立坐標系．

已知點，

設(shè)平面的法向量為：．

則有 ，可得平面的一個法向量為，

，

可得：，

所以直線與平面所成角的正弦值為．