Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，且圓C：x2+y2+

3

x-3y-6=0過A，F(xiàn)₂兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線PF₂的傾斜角為α，直線PF₁的傾斜角為β，當(dāng)β-α=

2π

3

時(shí)，證明：點(diǎn)P在一定圓上．
（3）直線BC過坐標(biāo)原點(diǎn)，與橢圓E相交于B，C，點(diǎn)Q為橢圓E上的一點(diǎn)，若直線QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不為0，求證：k_QB•k_QC為定植．

Answer 1

分析：（1）求出圓與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定橢圓E的方程；
（2）確定tanβ、tanα，利用兩角差的正切公式，化簡可得結(jié)論；
（3）求出直線QB，QC的斜率，利用點(diǎn)在橢圓上，代入作差，即可求得結(jié)論．

解答：（1）解：∵圓x2+y2+

3

x-3y-6=0與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為A(-2

3

，0)，F2(

3

，0)，
∴a=2

3

，c=

3

，∴b=3，
∴橢圓方程是：

x2

12

+

y2

9

=1．…（4分）
（2）證明：設(shè)點(diǎn)P（x，y），因?yàn)镕₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0），
所以kPF1=tanβ=

y

x+ 3

，kPF2=tanα=

y

x- 3

，
因?yàn)棣?α=

2π

3

，所以tan（β-α）=-

3

．
因?yàn)閠an（β-α）=

tanβ-tanα

1+tanαtanβ

=

-2 3 y

x2+y2-3

，所以

-2 3 y

x2+y2-3

=-

3

，
化簡得x²+y²-2y=3，所以點(diǎn)P在定圓x²+y²-2y=3上．…（10分）
（3）證明：設(shè)B（m，n），Q（x′，y′），則C（-m，-n）
∴k_QB•k_QC=

n-y′

m-x′

•

-n-y′

-m-x′

=

n2-y′2

m2-x′2

∵

m2

12

+

n2

9

=1，

x′2

12

+

y′2

9

=1
∴兩式相減可得

m2-x′2

12

+

n2-y′2

9

=0
∴

n2-y′2

m2-x′2

=-

3

4

∴k_QB•k_QC=-

3

4

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查兩角差的正切公式，考查斜率的計(jì)算，屬于中檔題．