【題目】如圖所示，直三棱柱中， ， 為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn).

（1）求證： 面；

（2）若面，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)與交于，連接，∵，則與平行且相等.∴四邊形為平行四邊形，由線(xiàn)面平行的判定定理可得結(jié)果；（2）以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)?/span>軸和軸正方向，以方向?yàn)?/span>軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)與交于，連接，

∵，則與平行且相等.

∴四邊形為平行四邊形.

∴，又面， 面，

∴面.

（2）以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)?/span>軸和軸正方向，以方向?yàn)?/span>軸正方向，建系如圖，設(shè)， ，則有

， ， ， ，

∴，∴，∴

由面，則.

則解得.

所以面的法向量為，

又設(shè)面的法向量為， ， ，

， ，所以，令，

則，

∴.

所以二面角的余弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定定理、利用空間向量求二面角，屬于難題.證明線(xiàn)面平行的常用方法：①利用線(xiàn)面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，可利用幾何體的特征，合理利用中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線(xiàn)平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四邊形與均為菱形， ，且.

（1）求證： 平面；

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

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【題目】預(yù)計(jì)某地區(qū)明年從年初開(kāi)始的前 個(gè)月內(nèi)，對(duì)某種商品的需求總量 （萬(wàn)件）近似滿(mǎn)足： ，且 ）
（1）寫(xiě)出明年第 個(gè)月的需求量 （萬(wàn)件）與月份 的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪個(gè)月份的需求量超過(guò) 萬(wàn)件；
（2）如果將該商品每月都投放到該地區(qū) 萬(wàn)件（不包含積壓商品），要保證每月都滿(mǎn)足供應(yīng)， 應(yīng)至少為多少萬(wàn)件？（積壓商品轉(zhuǎn)入下月繼續(xù)銷(xiāo)售）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A，乙對(duì)B，丙對(duì)C各一盤(pán)，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6，0.5，0.5，假設(shè)各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；
（2）用ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤(pán)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 的圖象過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（－1， ）處的切線(xiàn)方程 。
（1）求函數(shù) 的解析式；
（2）求函數(shù) 與 的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知平面直角坐標(biāo)系，以為極點(diǎn)， 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）寫(xiě)出點(diǎn)的直角坐標(biāo)及曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（2）若為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求的中點(diǎn)到直線(xiàn)： 的距離的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等．問(wèn)各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢(qián)，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問(wèn)五人各得多少錢(qián)？”（“錢(qián)”是古代的一種重量單位）．這個(gè)問(wèn)題中，甲所得為（ ）
A.錢(qián)
B.錢(qián)
C.錢(qián)
D.錢(qián)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中 ）的圖象如圖所示，為了得到g（x）=sin2x的圖象，則只需將f（x）的圖象（ ）

A.向右平移 個(gè)長(zhǎng)度單位
B.向右平移 個(gè)長(zhǎng)度單位
C.向左平移 個(gè)長(zhǎng)度單位
D.向左平移 個(gè)長(zhǎng)度單位

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【題目】若函數(shù)f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=﹣2對(duì)稱(chēng)，則f（x）的最大值為 ．

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