當兩個向量
a
，
b
不共線時，求證：
（1）|
a
|-|
b
|＜|
a
+
b
|＜|
a
| + |
b
|；（2）|
a
|-|
b
|＜|
a
-
b
|＜|
a
| + |
b
|．
分析：（1）|如圖：設(shè)
a
=
OA
，
b
=
OB
，△ABC中，由AO-AC＜OC，可得 |
a
|-|
b
|＜|
a
+
b
|；
由 OC＜AO+AC 可得 |
a
+
b
|＜|
a
| + |
b
|．
（2）△AOB中，由OA-OB＜AB，可得 |
a
|-|
b
|＜|
a
-
b
|； 由AB＜OA+OB 可得 |
a
-
b
|＜|
a
| + |
b
|．
解答：證明：（1）|如圖所示：設(shè)
a
=
OA
，
b
=
OB
，以O(shè)A、OB為鄰邊作一個平行四邊形OACB，
則 
OC
=
a
+
b
，
BA
=
a
-
b
．△ABC中，∵AO-AC＜OC，∴|
a
|-|
b
|＜|
a
+
b
|．
∵OC＜AO+AC∴|
a
+
b
|＜|
a
| + |
b
|．
綜上，|
a
|-|
b
|＜|
a
+
b
|＜|
a
| + |
b
|  成立．
（2）△AOB中，∵OA-OB＜AB，∴|
a
|-|
b
|＜|
a
-
b
|，
∵AB＜OA+OB，∴|
a
-
b
|＜|
a
| + |
b
|，綜上，
有   |
a
|-|
b
|＜|
a
-
b
|＜|
a
| + |
b
|  成立．

精英家教網(wǎng)
點評：本題考查兩個向量的和差的運算及其幾何意義，三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，
體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量
a
，
b
滿足
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
（1）若2
a
-
b
與
a
-7
b
垂直，求向量
a
與
b
的夾角；
（2）當θ∈[0，
π
2
]時，若存在兩個不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|成立，求正數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)e1,e2是兩個不共線的向量,則向量a=2e1-e2與向量b=e1+λe2(λ∈R)共線,當且僅當λ的值為…(    )

A.0           B.-1                C.-2              D.-

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：單選題

設(shè)a、b是兩個向量，則不等式|a+b|＜|a|+|b|僅當


  1. A.
    a與b共線時成立
  2. B.
    a與b不共線時成立
  3. C.
    a與b反向共線時成立
  4. D.
    a與b不共線，或a與b均非零且反向共線時成立

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a、b是兩個非零向量,當a+tb(t∈R)的模取最小值時,

(1)求t的值;

(2)已知a與b不共線,求證:b與a+tb垂直.

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