試題分析:(1)因為f'(x)=﹣
+
=
,
①若a≤0,則f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),…(2分)
②若a>0,令f'(x)=0,得x=a,
當(dāng)0<x<a時,f'(x)<0;當(dāng)x>a時,f'(x)>0.
所以(0,a)為單調(diào)減區(qū)間,(a,+∞)為單調(diào)增區(qū)間.
綜上可得,當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,a),單調(diào)增區(qū)間為(a,+∞). …(4分)
(2)a=0時,h(x)=f(x)+g(x)=
,
∴h'(x)=bx﹣2+
=
,…(5分)
h(x)在(0,1)上有且只有一個極值點,即h'(x)=0在(0,1)上有且只有一個根且不為重根,
由h'(x)=0得bx
2﹣2x+1=0,…(6分)
( i)b=0,x=
,滿足題意;…(7分)
( ii)b>0時,b•1
2﹣2•1+1<0,即0<b<1;…(8分)
( iii)b<0時,b•1
2﹣2•1+1<0,得b<1,故b<0;
綜上所述,得:h(x)在(0,1)上有且只有一個極值點時,b<1. …(9分)
(3)證明:由(1)可知:
( i)若a≤0,則f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),
所以直線l與y=F(x)的圖象不可能有兩個切點,不合題意.…(10分)
(ⅱ)若a>0,f(x)在x=a處取得極值f(a)=1+lna.
若1+lna≥0,a≥
時,由圖象知不可能有兩個切點.…(11分)
故0<a<
,設(shè)f(x)圖象與x軸的兩個切點的橫坐標(biāo)為s,t(不妨設(shè)s<t),
則直線l與y=F(x)的圖象有兩個切點即為直線l與
和
的切點.
y
1'=
﹣
=
,y
2'=﹣
+
=
,
設(shè)切點分別為A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),則0<x
1<x
2,且
=
=﹣
﹣
,
=
=
+
,
=
,
即
=1﹣lnx
1…①;
=1﹣lnx
2…②;a=
,③
①﹣②得:
﹣
=﹣lnx
1+lnx
2=﹣ln
,
由③中的a代入上式可得:(
﹣
)•
,
即
,…(14分)
令
=k(0<k<1),則(k
2+1)lnk=2k
2﹣2,令G(k)=(k
2+1)lnk﹣2k
2+2,(0<k<1),
因為
=1﹣
>0,
=﹣
<0,
故存在k
0∈(0,1),使得G(k
0)=0,
即存在一條過原點的直線l與y=F(x)的圖象有兩個切點.…(16分)
點評:本題給出含有分式和對數(shù)的基本初等函數(shù),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、討論函數(shù)f(x)+g(x)的極值點并證明了函數(shù)|f(x)|圖象與過原點的直線相切的問題.著重考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、直線的斜率公式和用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象的切線等知識,屬于難題.