Question

廣東省某家電企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析，決定調(diào)整新產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周（按40個工時計算）生產(chǎn)空調(diào)機(jī)、彩電、冰箱共120臺，且冰箱至少生產(chǎn)20臺，已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺所需工時和每臺產(chǎn)值如下表：

家電名稱	空調(diào)機(jī)	彩電	冰箱
工時	1 2	1 3	1 4
產(chǎn)值/千元	4	3	2

問每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)機(jī)、彩電、冰箱各多少臺，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？（以千元為單位）

Answer 1

分析：設(shè)每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱的數(shù)量分別為x臺、y臺、z臺，且總產(chǎn)值A(chǔ)=4x+3y+2z．建立三元一次方程組，由于每周冰箱至少生產(chǎn)20臺即z≥20，結(jié)合生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共120臺算出出10≤x≤40，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可求得產(chǎn)值A(chǔ)的最大值，進(jìn)而可得相應(yīng)的x、y、z的值．

解答：解：設(shè)每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱的數(shù)量分別為x臺、y臺、z臺，
根據(jù)題意可得，總產(chǎn)值為A=4x+3y+2z．
x、y、z滿足

x+y+z=120 1 2 x+ 1 3 y+ 1 4 z=40 z≥20

（x、y、z∈N^*）
∵z=120-x-y=160-2x-

4

3

y
∴消去z，可得y=120-3x，進(jìn)而得到z=2x
因此，總產(chǎn)值為A=4x+3y+2z=4x+3（120-3x）+4x=360-x
∵z=2x≥20，且y=120-3x≥0
∴x的取值范圍為x∈[10，40]
根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，可得A=360-x∈[320，350]
由此可得當(dāng)x=10，y=90，z=20時，產(chǎn)值A(chǔ)達(dá)到最大值為350千元．
答：生產(chǎn)空調(diào)機(jī)10臺、彩電90臺、冰箱20臺時，可使產(chǎn)值達(dá)最大值，最大產(chǎn)值為350千元．

點評：本題給出實際應(yīng)用問題，求工廠生產(chǎn)總值的最大化的問題，著重考查了三元一次方程組的處理、一次函數(shù)的單調(diào)性和簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用等知識點，屬于中檔題．