Question

已知f（x）=ln（ax+b）-x，其中a＞0，b＞0
（1）求f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)的充要條件；
（2）求f（x）在[0，+∞）上的最大值；
（3）解不等式ln（1+

x- 1 x

）-

x- 1 x

≤ln2-1．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，再求充分性由x≥0，a＞0，b＞0⇒當f'（x）≤0時，a-b≤0；然后求必要性：當a≤b時，由a＞0，b＞0，x≥0，⇒ax+b＞0，a-b-ax≤0，即可求出充要條件；
（2）由（1）能夠得出當a≤b時，（x）的最大值為f（0）=lnb；當b＜a時，f（x）在[0，

a-b

a

]是增函數(shù)，f（x）在[

a-b

a

，+∞）是減函數(shù)，進而求得當x=

a-b

a

時取得最大值為lna-

a-b

a

，最后在總結即可；
（3）解不等式ln（1+

x- 1 x

）-

x- 1 x

≤ln2-1能夠轉(zhuǎn)化成f（

x- 1 x

）≤f（1），再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出解題．

解答：解：（1）f'（x）=

a

ax+b

-1=

a-b-ax

ax+b

充分性：因為x≥0，a＞0，b＞0所以，當f'（x）≤0時，a-b≤0，即a≤b
必要性：當a≤b時，因為a＞0，b＞0，x≥0，所以ax+b＞0，a-b-ax≤0，即f'（x）≤0
所以f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)的充要條件是“a≤b”
（2）由（1）知當a≤b時f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)
∴f（x）的最大值為f（0）=lnb
當b＜a時，因為f'（x）=

a-b-ax

ax+b

∴當0≤x＜

a-b

a

時，f'（x）＞0；當x＞

a-b

a

時，f'（x）＜0
即f（x）在[0，

a-b

a

]是增函數(shù)，f（x）在[

a-b

a

，+∞）是減函數(shù)
則當x=

a-b

a

時取得最大值為lna-

a-b

a

綜上，[f（x）_max]=

lnb   b≥a lna- a-b a

b＜a
（3）在（1）中取a=b=1，得f（x）=ln（x+1）-x
由（1）知f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)
∵ln（1+

x- 1 x

）-

x- 1 x

≤ln2-1即f（

x- 1 x

）≤f（1）
∴

x- 1 x

≥1解得

1- 5

2

≤x＜0或x≥

1+ 5

2

∴不等式的解集為[

1- 5

2

，0）∪[

1+ 5

2

，+∞）

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關系以及利用導數(shù)求出最值，第（2）要注意分情況求最值，屬于中檔題．