Question

設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x．
（I）求f（x）的值域和最小正周期；
（II）設(shè)A、B、C為△ABC的三內(nèi)角，它們的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，若cosC=

2 2

3

，A為銳角，且f(

A

2

)=-

1

4

，a+c=2+3

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x=-

3

2

sin2x+

1

2

，再有三角函數(shù)的周期公式及性質(zhì)求出函數(shù)的最值以及周期．
（II）由題條件求出sinC，sinA，再有正弦定理建立起兩邊a，c的一個(gè)方程與方程a+c=2+3

3

聯(lián)立求出a，c的值，再由余弦定理求出b，由面積公式求面積即可．

解答：解：（I）f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=-

3

2

sin2x+

1

2

，故函數(shù)的值域是[

1- 3

2

，

1+ 3

2

]，周期是π；
（II）∵cosC=

2 2

3

，∴sinC=

1

3

∵f(

A

2

)=-

1

4

，∴-

3

2

sinA+

1

2

=-

1

4

，解得sinA=

3

2

由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，即

a

3 2

=

c

1 3

，整理得a=

3 3

2

c代入a+c=2+3

3

解得c=2，a=3

3

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

3

2

×

2 2

3

+

1

2

×

1

3

=

2 6 +1

6

∴S=

1

2

×a×c×sinB=

1

2

×2×3

3

×

2 6 +1

6

=3

2

+

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用以及三角恒等變換，求三角函數(shù)的周期及值域，求解本題的關(guān)鍵是對(duì)三角函數(shù)解析式的化簡(jiǎn)以及正弦定理構(gòu)建方程求兩邊的長(zhǎng)度，用正弦的和角公式求角B的正弦值．本題中涉及到的公式較多，體現(xiàn)了三角函數(shù)解題的特點(diǎn)，綜合利用公式，靈活選擇公式的能力在本章的綜合題中顯得尤其重要．