Question

已知向量

a

=(

3

sinωx，cosωx)，

b

=（cosωx，-cosωx），ω＞0，記函數(shù)f（x）=

a

•

b

，已知f（x）的最小正周期為

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）設(shè)△ABC的三邊a、b、c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，求此時函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)量積運算公式、兩角和的正弦公式及其周期公式T=

2π

ω

即可得出；
（2）使用余弦定理和基本不等式即可得出x的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=

3

sinωxcosωx-cos2ωx
=

3

2

sin(2ωx)-

1+cos(2ωx)

2

=[sin(2ωx)cos

π

6

-cos(2ωx)sin

π

6

]-

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

，
∵T=

π

2

，
∴T=

π

2

=

2π

2ω

，解得ω=2．
（2）由（1）可得f（x）=sin(4x-

π

6

)-

1

2

．
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosx，
又∵b²=ac，
∴cosx=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號．
∵x∈（0，π），
∴0＜x≤

π

3

．
∴-

π

6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

．
∴-

1

2

≤sin(4x-

π

6

)≤1，
∴-1≤sin(4x-

π

6

)≤

1

2

．
∴函數(shù)f（x）的值域為[-

1

2

，

1

2

]．

點評：本題考查了數(shù)量積運算公式、兩角和的正弦公式、余弦定理和基本不等式和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．