【題目】如圖，四棱錐，四邊形為平行四邊形，，，，，，，為中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）利用中位線的性質(zhì)得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

（2）推導(dǎo)出平面，可得出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可得出平面，最后利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；

（3）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能計(jì)算出二面角的余弦值.

（1）四邊形為平行四邊形，，為中點(diǎn)，

為中點(diǎn)，，

平面，平面，平面；

（2）四邊形為平行四邊形，，為、中點(diǎn)，

，，，，

，平面，

平面，，

又，，平面，

平面，平面平面；

（3）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、分別為軸、軸，過且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，

，，，，

，，，，

、、、，

，，，

設(shè)平面和平面的法向量分別為，，

由，得，令，可得，

由，得，令，可得，

，

由圖形可知，二面角的平面角為鈍角，它的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，下述三個結(jié)論：①的取值范圍是；②在存在零點(diǎn)；③在至多有4個極值點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號是( )

A.①②B.①③C.②③D.①②③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，底面，，，，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)E，使與底面所成的角為45°？若存在，求的值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù).

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C:（）的離心率為，且橢圓C的中心O關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在直線上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)P，M、N是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩點(diǎn)，連接交橢圓C于另一點(diǎn)E，求直線的斜率取值范圍，并證明直線與x軸相交于定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨機(jī)調(diào)查某城市80名有子女在讀小學(xué)的成年人，以研究晚上八點(diǎn)至十點(diǎn)時間段輔導(dǎo)子女作業(yè)與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：

　　　　是否輔導(dǎo)

性別

輔導(dǎo)

不輔導(dǎo)

合計(jì)

男

25

60

女

合計(jì)

40

80

（1）請將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整；

（2）用樣本的頻率估計(jì)總體的概率，估計(jì)這個城市有子女在讀小學(xué)的成人女性晚上八點(diǎn)至十點(diǎn)輔導(dǎo)子女作業(yè)的概率；

（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%以上的把握認(rèn)為“晚上八點(diǎn)至十點(diǎn)時間段是否輔導(dǎo)子女作業(yè)與性別有關(guān)？”.

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】年新型冠狀病毒疫情爆發(fā)，貴州省教育廳號召全體學(xué)生“停課不停學(xué)”.自月日起，高三年級學(xué)生通過收看“陽光校園·空中黔課”進(jìn)行線上網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí).為了檢測線上網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效果，某中學(xué)隨機(jī)抽取名高三年級學(xué)生做“是否準(zhǔn)時提交作業(yè)”的問卷調(diào)查，并組織了一場線上測試，調(diào)查發(fā)現(xiàn)有名學(xué)生每天準(zhǔn)時提交作業(yè)，根據(jù)他們的線上測試成績得頻率分布直方圖(如圖所示)；另外名學(xué)生偶爾沒有準(zhǔn)時提交作業(yè)，根據(jù)他們的線上測試成績得莖葉圖(如圖所示，單位：分)

（1）成績不低于分為等，低于分為非等.完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為成績?nèi)〉?/span>等與每天準(zhǔn)時提交作業(yè)有關(guān)？

準(zhǔn)時提交作業(yè)與成績等次列聯(lián)表

單位：人

A等

非A等

合計(jì)

每天準(zhǔn)時提交作業(yè)

偶爾沒有準(zhǔn)時提交作業(yè)

合計(jì)

（2）成績低于分為不合格，從這名學(xué)生里成績不合格的學(xué)生中再抽取人，其中每天準(zhǔn)時提交作業(yè)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】閱讀下列材料，回答所提問題：設(shè)函數(shù)，①的定義域?yàn)?/span>，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線；②是偶函數(shù)；③在上不是單調(diào)函數(shù)；④恰有個零點(diǎn)，寫出符合上述①②④條件的一個函數(shù)的解析式是______；寫出符合上述所有條件的一個函數(shù)的解析式是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年初，新型冠狀病毒肺炎（COVID－19）在我國爆發(fā)，全國人民團(tuán)結(jié)一心、積極抗疫，為全世界疫情防控爭取了寶貴的時間，積累了豐富的經(jīng)驗(yàn).某研究小組為了研究某城市肺炎感染人數(shù)的增長情況，在官方網(wǎng)站．上搜集了7組數(shù)據(jù)，并依據(jù)數(shù)據(jù)制成如下散點(diǎn)圖：

圖中表示日期代號（例如2月1日記為“1”，2月2日記為“2”，以此類推）．通過對散點(diǎn)圖的分析，結(jié)合病毒傳播的相關(guān)知識，該研究小組決定用指數(shù)型函數(shù)模型來擬合，為求出關(guān)于的回歸方程，可令，則與線性相關(guān)．初步整理后，得到如下數(shù)據(jù)：，．

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程：

（2）求關(guān)于的回歸方程；若防控不當(dāng)，請問為何值時，累計(jì)確診人數(shù)的預(yù)報值將超過1000人?（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）

附：對于一組數(shù)據(jù)，其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．

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