Question

已知P、A、B、C是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=1，BC=

3

，PA=

5

，則球O的表面積為（　�。�

A．9π

B．8π

C．6π

D．4π

Answer 1

分析：根據(jù)AC⊥BC，且PA⊥平面ABC，，得到三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，由圓的對(duì)稱性知長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)球上，長(zhǎng)方體的體積就是圓的直徑，求出直徑，得到圓的面積．

解答：解：∵AC⊥BC，且PA⊥平面ABC，
∴三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，
∴可以以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，
由圓的對(duì)稱性知長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)球上，
∴球的直徑等于長(zhǎng)方體對(duì)角線，
即2R=

1+3+5

=3，
∴球的表面積是4π×R²=4π×（

3

2

）²=9π
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積與表面積，考查球與長(zhǎng)方體之間的關(guān)系，考查三棱錐與長(zhǎng)方體之間的關(guān)系，以及轉(zhuǎn)化、構(gòu)造補(bǔ)形的解題方法．