【題目】△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且2acosB=3b﹣2bcosA.

(1)求 的值;
(2)設AB的中垂線交BC于D,若cos∠ADC= ,b=2,求△ABC的面積.

【答案】
(1)解:∵2acosB=3b﹣2bcosA,

∴2sinAcosB=3sinB﹣2sinBcosA

∴2sin(A+B)=3sinB,則2sinC=3sinB,

由正弦定理得, = =


(2)解:∵AB的中垂線交BC于D,∴DA=DB,則∠B=∠BAD,

∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B,

∵cos∠ADC= ,∴cos∠ADC=1﹣2sin2B=

解得sinB= ,

由B是銳角得,cosB= =

∵在△ABC中,b=2,且 = ,∴c=3,

由余弦定理得,b2=a2+c2﹣2accosB,

,解得a=4或 ,

∵BD= = ,∴a= 舍去,

∴△ABC的面積S= = =


【解析】(1)根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式化簡已知的式子,再由正弦定理求出 的值;(2)根據(jù)條件和二倍角的余弦公式求出sinB的值,由平方關系求出cosB的值,由余弦定理求出a,由條件進行取舍,代入三角形的面積公式求出△ABC的面積.
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識點,需要掌握正弦定理:;余弦定理:;;才能正確解答此題.

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