Question

（本題滿分12分）在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E為CC₁的中點(diǎn)．

（1）求證：AC₁∥平面BDE；（2）求異面直線A₁E與BD所成角。

Answer 1

（1）連結(jié)AC交BD于O，連接EO因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD，
由OE為△AC₁C中位線，得出OE∥AC₁；從而AC₁∥面BDE。
（2）先證BD⊥面A₁AC C₁
證得BD⊥A₁E，A₁E與BD所成角為90⁰。

試題分析：（1）連結(jié)AC交BD于O，連接EO因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD，
所以O(shè)為BD中點(diǎn)，E為CC₁中點(diǎn)
所以O(shè)E為△AC₁C中位線，
所以O(shè)E∥AC₁-----------3
OE面BDE
AC₁面BDE
AC₁∥面BDE------------6
（2）因正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁
所以BD⊥A₁A，又因BD⊥AC
A₁A∩AC="A" ，A₁A 面A₁AC C₁

B

AC面A₁AC C₁

所以BD⊥面A₁AC C₁                           --------9
A₁E面A₁AC C₁
所以BD⊥A₁E-
A₁E與BD所成角為90⁰------12
點(diǎn)評(píng)：本題通過考查直線與平面的垂直關(guān)系及異面直線所成角的計(jì)算，考查空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想等．本題中異面直線所成角的確定，通過證明線面垂直完成，值得深思。屬中檔題。