Question

已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（0，1）和直線l：y=x+m，線段AB是橢圓E的一條弦且直線l垂直平分弦AB，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)已知可求出橢圓中的a，b的值，再根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，就可得到橢圓方程．
（Ⅱ）根據(jù)直線AB與直線l：y=x+m垂直，可得直線AB的斜率，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)就可求出直線AB的方程，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線l的方程，就可求出m的值．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，∴a=2，離心率為．
∴，c=，∴b=1
∵橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（Ⅱ）由條件可得直線AB的方程為y=-x+1．于是，有，．
設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，由此及點(diǎn)M在直線l得．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓相交問(wèn)題中韋達(dá)定理的應(yīng)用．