Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x） 滿足條件：（1）f（x）+f（-x）=2；（2）對(duì)非零實(shí)數(shù)x，都有2f（x）+f（）=2x++3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=（x≥0）直線 y=n-x分別與函數(shù)f（x） 的反函數(shù) 交于A，B兩點(diǎn)
（其中n∈N*），設(shè) a_n=|A_nB_n|，s_n為數(shù)列a_n 的前n項(xiàng)和．求證：當(dāng)n≥2 時(shí)，總有 S_n²＞2（）成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）令解析式中的x用代入，得到一個(gè)方程組，消去f（）可求出函數(shù)的解析式；
（2）先求出A_n的坐標(biāo)，依題意得B_n與A_n關(guān)于y=x對(duì)稱求出B_n的坐標(biāo)，求出a_n，從而求出S_n，將s_n²-s_n-1²進(jìn)行累加可求證得結(jié)論．
解答：解：（1）由②知x≠0時(shí)⇒
⇒f（x）=x+1（4分）
（2）g（x）=由⇒A_n（，）
依題意得B_n與A_n關(guān)于y=x對(duì)稱⇒B_n（，）=（6分）
⇒s_n=+⇒s_n-s_n-1===s_n²-+（8分）
⇒s_n²-s_n-1²=（n≥2）累加得s_n²-s₁²=2（++）-（++）
⇒s_n²=2（++）+1-（++）（10分）
又1-（++）＞1-（++）=＞0
∴s_n²＞（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)解析式的求解，以及數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和，同時(shí)考查了利用累加法證明不等式，屬于難題．