Question

已知圓C圓心在直線y=x-1上，且過點(diǎn)A（1，3），B（4，2）．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線x+2y+m=0與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且∠MON=60°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出圓的一般方程，根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)，將圓心代入直線y=x-1，將A，B代入圓的方程，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程，求出各個(gè)系數(shù)，即得到圓的方程．
（2）根據(jù)圓心角等于圓周角的2倍，通過解半徑、圓心距、及弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形得到圓心距，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，列出參數(shù)m的方程，求出m的值．

解答：解：（1）設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則

- E 2 =- D 2 -1 1+9+D+3E+F=0 16+4+4D+2E+F=0

解得D=-4，E=-2，F(xiàn)=0．
∴圓C的方程為x²+y²-4x-2y=0．
（2）∵∠MON=60°，點(diǎn)O在圓C上，
∴∠MCN=120°，且點(diǎn)C在直線MN下方，
在等腰△MCN中，得點(diǎn)C到直線MN的距離為

5

2

∴d=

|2+2+m|

5

=

5

2

，解得m=-

3

2

或m=-

13

2

．
經(jīng)檢驗(yàn)，m=-

3

2

不合題意，舍去．
∴m=-

13

2

．

點(diǎn)評(píng)：求圓的方程，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓相交問題，常通過解半徑、圓心距、及弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形．