Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+1（a∈R）．
（1）若函數y=f（x）在區(qū)間(0，

2

3

)上遞增，在區(qū)間[

2

3

，+∞）上遞減，求a的值；
（2）當x∈[0，1]時，設函數y=f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角為θ，若給定常數a∈（

3

2

，+∞），求θ的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，是否存在實數m，使得函數g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1（m∈R）的圖象與函數y=f（x）的圖象恰有三個交點．若存在，請求出實數m的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用函數y=f（x）在區(qū)間(0，

2

3

)上遞增，在區(qū)間[

2

3

，+∞）上遞減，可得函數在x=

2

3

處取得極值，即f′（

2

3

）=0，從而可求a的值；
（2）求導函數，根據a∈（

3

2

，+∞），可確定斜率的范圍，從而可確定傾斜角θ的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，a=1，“要使函數f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個交點”即為“方程x²（x²-4x+1m）=0恰有三個不同的實根”．因為x=0是一個根，所以方程x²-4x+1-m=0應有兩個非零的不等實根，再用判別式求解．

解答：解：由于函數f（x）=-x³+ax²+1（a∈R）．
則導函數f′（x）=-3x²+2ax
（1）由于函數y=f（x）在區(qū)間(0，

2

3

)上遞增，在區(qū)間[

2

3

，+∞）上遞減，
則得函數在x=

2

3

處取得極值，即f′（

2

3

）=0，
則-3×(

2

3

)²+2a×

2

3

=0，解得a=1．
（2）由于tanθ=f′（x）=-3x²+2ax=-3（x-

a

3

）2+

a2

3

，
∵a∈（

3

2

，+∞），∴

a

3

∈(

1

2

，+∞)
①當

a

3

∈（

1

2

，1]，即a∈(

3

2

，3]時，f′(x)max=

a2

3

，f′（x）_min=f′（0）=0
即0≤tanθ≤

a2

3

②當

a

3

∈（1，+∞），即a∈（3，+∞），時，f′（x）_max=f'（1）=2a-3，f′（x）_min=f′（0）=0
即0≤tanθ≤2a-3
∵0≤θ≤π，∴當a∈(

3

2

，3]時，θ∈[0，arctan

a2

3

]；
當a∈（3，+∞）時，θ的取值范圍是[0，arctan（2a-3）]．
（3）在（1）的條件下，a=1，
要使函數f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個交點，
等價于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1，
即方程x²（x²-4x+1-m）=0恰有三個不同的實根．
∵x=0是一個根，
∴應使方程x²-4x+1-m=0有兩個非零的不等實根，
由△=16-4（1-m）＞0，1-m≠0，解得m＞-3，m≠1
∴存在m∈（-3，1）∪（1，+∞），
使得函數f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個交點．

點評：本題主要考查函數與方程的綜合運用，主要涉及了方程的根與函數的零點間的轉化．還考查了計算能力和綜合運用知識的能力．