【題目】如圖,已知橢圓C: 的右頂點為A,離心率為e,且橢圓C過點 ,以AE為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的右焦點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)已知動直線l(直線l不過原點且斜率存在)與橢圓C交于P,Q兩個不同的點,且△OPQ的面積S=1,若N為線段PQ的中點,問:在x軸上是否存在兩個定點E1 , E2 , 使得直線NE1與NE2的斜率之積為定值?若存在,求出E1 , E2的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)
解:連接EF,則EF⊥FA,則xF=c=2e,則c= ,解得:a=2,
故點E(c, ),代入橢圓方程: ,解得:c= ,
b2=a2﹣c2=1,
故橢圓的方程:
(2)
解:設(shè)直線l的方程為:y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),
則 ,整理得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2=4=0,
x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
則丨PQ丨= = ,
原點到直線l的距離d= ,
∴△OPQ的面積S△OPQ= 丨PQ丨×d= × =1,
即2丨m丨 =1+4k2,則1+4k2=2m2,
設(shè)N(x,y),則x= =﹣ =﹣ ,y= = = ,
由①,②消去m, ,
假設(shè)x軸上,存在兩定點E1(s,0),E2(t,0),(s≠t)
那么直線NE1的斜率k1= ,直線NE2的斜率k2= ,
則k1k2= =﹣ ,
當且僅當s+t=0,st=﹣2,k1k2=﹣ ,解得:s= ,t=﹣ ,
即存在定點E1( ,0),E2(﹣ ,0),滿足題意.
【解析】(1)由題意可知c=2e,根據(jù)橢圓的離心率公式,即可求得a,將E代入橢圓方程,即可求得橢圓方程;(2)將直線方程代入橢圓方程,利用韋達定理及弦長公式,由S=1,求得1+4k2=2m2 , 設(shè)兩點坐標,利用斜率公式,即可求得兩點坐標.
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【題目】由經(jīng)驗得知,在某商場付款處排隊等候付款的人數(shù)及概率如表:
排隊人數(shù) | 人以上 | |||||
概率 |
(1)至多有人排隊的概率是多少?
(2)至少有人排隊的概率是多少?
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(﹣∞,0)上的可導函數(shù),其導函數(shù)為f′(x),且有xf′(x)>x2+3f(x),則不等式8f(x+2014)+(x+2014)3f(﹣2)>0的解集為( )
A.(﹣∞,﹣2016)
B.(﹣2018,﹣2016)
C.(﹣2018,0)
D.(﹣∞,﹣2018)
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且 .
(1)求sinB的值;
(2)若D為AC的中點,且BD=1,求△ABD面積的最大值.
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【題目】已知命題 :方程 表示焦點在 軸上的橢圓,命題 :雙曲線 的離心率 ,若命題 , 中有且只有一個為真命題,求實數(shù) 的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣2)ex﹣ +kx(k是常數(shù),e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)在區(qū)間(0,2)內(nèi)存在兩個極值點,則實數(shù)k的取值范圍是 .
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【題目】如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,點M是棱BB1上一點.
(1)求證:B1D1∥平面A1BD;
(2)求證:MD⊥AC;
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