【題目】已知直線x﹣2y+2與圓C:x2+y2﹣4y+m=0相交,截得的弦長為
(1)求圓C的方程;
(2)過點(diǎn)M(﹣1,0)作圓C的切線,求切線的直線方程;
(3)若拋物線y=x2上任意三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R,且滿足直線PQ和PR都與圓C相切,判斷直線QR與圓C的位置關(guān)系,并加以證明.

【答案】
(1)解:圓心C(0,2)到直線x﹣2y+2與的距離為d= ,

∵截得的弦長為 ,∴r=1

∴圓C的方程為:x2+(y﹣2)2=1


(2)解:斜率不存在時(shí),x=﹣1滿足題意;

斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x+1),即kx﹣y+k=0,

圓心到直線的距離d= =1,∴k=﹣ ,切線方程為3x+4y+3=0,

綜上所述,切線方程為x=﹣1或3x+4y+3=0


(3)解:設(shè)P(a,a2),Q(b,b2),R(c,c2),可得kPQ=a+b,

直線PQ的方程為y﹣a2=(a+b)(x﹣a),即為y=(a+b)x﹣ab,

同理可得,直線PR的方程為y=(a+c)x﹣ac,

直線QR的方程為y=(b+c)x﹣bc,

∵直線PQ和PR都與圓C相切,

=1, =1,即為b2(1﹣a2)﹣2ab+a2﹣3=0,

c2(1﹣a2)﹣2ac+a2﹣3=0,即有b,c為方程x2(1﹣a2)﹣2ax+a2﹣3=0的兩根,

可得b+c= ,bc= ,

由圓心到直線QR的距離為 =1,

則直線QR與圓C相切


【解析】(1)求得圓心到直線的距離,由弦長公式,計(jì)算即可得到m=3,進(jìn)而得到圓的方程;(2)分類討論,運(yùn)用直線和圓相切的條件,求得k,即可得出結(jié)論;(3)設(shè)P(a,a2),Q(b,b2),R(c,c2),求得直線PQ,PR,QR的方程,運(yùn)用直線和圓相切的條件,化簡整理,再由韋達(dá)定理,可得b,c的關(guān)系,再由圓心到直線QR的距離,即可判斷所求位置關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知的等比中項(xiàng)為,且的等差中項(xiàng)為1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

【答案】.

【解析】

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,運(yùn)用等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的定義,利用等差數(shù)列的求和公式,代入可求a1,d,解方程可求通項(xiàng)an

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng),公差為,則通項(xiàng)為,

項(xiàng)和為,依題意有,

其中,由此可得,

整理得, 解方程組得,

由此得;或.

經(jīng)檢驗(yàn)均合題意.

所以所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)及等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì),數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知的關(guān)系,求表達(dá)式,一般是寫出做差得通項(xiàng),但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用。

型】解答
結(jié)束】
20

【題目】等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,{bn}為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.

(1)anbn;

(2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣ax﹣alnx(a∈R),g(x)=﹣x3+ x2+2x﹣6,g(x)在[1,4]上的最大值為b,當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f(x)≥b恒成立,則a的取值范圍(
A.a≤2
B.a≤1
C.a≤﹣1
D.a≤0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知關(guān)于x的不等式x2﹣4x+t≤0的解集為A,若(﹣∞,t]∩A≠,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知α,β∈(0, )且sin(α+2β)=
(1)若α+β= ,求sinβ的值;
(2)若sinβ= ,求cosα的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖:

將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.

(1)根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表,若按的可靠性要求,并據(jù)此資料,你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?

(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求分布列,期望和方差.

附:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,a,b,c分別是A,B,C的對(duì)邊,(2a﹣c)cosB﹣bcosC=0.
(1)求角B的大。
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=2sinxcosxcosB﹣ cos2x,求函數(shù)f(x)的最大值及當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若向量 = =(sinωx,0),其中ω>0,記函數(shù)f(x)=( + .若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m(m為常數(shù))相切,并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差是π的等差數(shù)列.
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式及m的值;
(Ⅱ)將f(x)的圖象向左平移 個(gè)單位,再將得到的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(橫坐標(biāo)不變)后得到y(tǒng)=g(x)的圖象,求y=g(x)在 上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】有4個(gè)不同的球,4個(gè)不同的盒子,把球全部放入盒子內(nèi).

(1)共有幾種放法?

(2)恰有1個(gè)空盒,有幾種放法?

(3)恰有2個(gè)盒子不放球,有幾種放法?

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