【題目】《九章算術(shù)》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖,四棱錐中,底面為平行四邊形,,,底面.
(1)求證:平面.試判斷四面體是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,說明理由;
(2)若,求點A到平面的距離.
【答案】(1)四面體是一個鱉臑,其四個面的直角分別為,,,(2)
【解析】
(1)利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明,根據(jù)“鱉臑”定義進(jìn)行判斷即可;
(2)利用等體積轉(zhuǎn)化方法求解.
(1)因為,,由余弦定理得.
從而,故.
由平面,可得.
因為,所以平面.
由平面,平面,可知四面體的四個面都是直角三角形,
即四面體是一個鱉臑,其四個面的直角分別為,,,.
(2)因為為平行四邊形,,,,
所以,,,.
所以的面積為.
在中,,,,所以.
在中,,,,
所以的面積為.
設(shè)點A到平面的距離為d,則三棱錐的體積為.
因為平面,所以三棱錐的體積為.
所以,,
即點A到平面的距離為.
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【題目】如圖,在正方體中,點在線段上移動,有下列判斷:①平面平面;②平面平面;③三棱錐的體積不變;④平面.其中,正確的是______.(把所有正確的判斷的序號都填上)
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【題目】已知橢圓,是它的上頂點,點各不相同且均在橢圓上.
(1)若恰為橢圓長軸的兩個端點,求的面積;
(2)若,求證:直線過一定點;
(3)若,的外接圓半徑為,求的值.
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【題目】設(shè),函數(shù)
(1)若,求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
(2)若,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不必證明)
(3)若存在,使得關(guān)于方程有三個不相等的實數(shù)根,求出實數(shù)的取值范圍.
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【題目】一種擲骰子走跳棋的游戲:棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站,共101站,設(shè)棋子跳到第n站的概率為,一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次骰子,棋子向前跳動一次.若擲出奇數(shù)點,棋子向前跳一站;若擲出偶數(shù)點,棋子向前跳兩站,直到棋子跳到第99站(獲勝)或第100站(失敗)時,游戲結(jié)束(骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具,它的六個面分別標(biāo)有點數(shù)1,2,3,4,5,6).
(1)求,,,并根據(jù)棋子跳到第n站的情況,試用和表示;
(2)求證:為等比數(shù)列;
(3)求玩該游戲獲勝的概率.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,,求的值域;
(2)當(dāng)時,求的最小值;
(3)是否存在實數(shù)、,同時滿足下列條件:① ;② 當(dāng)的定義域為時,其值域為.若存在,求出、的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量用其質(zhì)量指標(biāo)值來衡量)質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好,且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為配方和配方)做試驗,各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,得到下面試驗結(jié)果:
配方的頻數(shù)分布表:
指標(biāo)值分組 | [90,94) | [94,98) | [98,102) | [102,106) | [106,110] |
頻數(shù) | 8 | 20 | 42 | 22 | 8 |
配方的頻數(shù)分布表:
指標(biāo)值分組 | [90,94) | [94,98) | [98,102) | [102,106] | [106,110] |
頻數(shù) | 4 | 12 | 42 | 32 | 10 |
(1)分別估計用配方、配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率;
(2)已知用配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(單位:元)與其質(zhì)量指標(biāo)值的關(guān)系為,估計用配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于的概率,并求用配方生產(chǎn)的上述件產(chǎn)品的平均利潤.
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【題目】已知圓C經(jīng)過點,且圓心在直線上,又直線與圓C交于P,Q兩點.
(1)求圓C的方程;
(2)若,求實數(shù)的值;
(3)過點作直線,且交圓C于M,N兩點,求四邊形的面積的最大值.
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【題目】隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活,網(wǎng)購作為一種新的消費方式,因其具有快捷、商品種類齊全、性價比高等優(yōu)勢而深受廣大消費者認(rèn)可.某網(wǎng)購公司統(tǒng)計了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù),得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次類推;y表示人數(shù)):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(萬人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
(1)試根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人;
(2)該公司為了吸引網(wǎng)購者,特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲,送免費購物券”活動,網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn). 若遙控車最終停在“勝利大本營”,則網(wǎng)購者可獲得免費購物券500元;若遙控車最終停在“失敗大本營”,則網(wǎng)購者可獲得免費購物券200元. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是,方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格,網(wǎng)購者每拋擲一次骰子,遙控車向前移動一次.若擲出奇數(shù),遙控車向前移動一格(從到)若擲出偶數(shù)遙控車向前移動兩格(從到),直到遙控車移到第19格勝利大本營)或第20格(失敗大本營)時,游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為,試證明是等比數(shù)列,并求網(wǎng)購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.
附:在線性回歸方程中,.
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