【題目】已知函數(shù)且.
(1)求a;
(2)證明:存在唯一的極大值點,且.
【答案】(1)a=1;(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意結(jié)合導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求得,注意驗證結(jié)果的正確性;(2)結(jié)合(1)的結(jié)論構(gòu)造函數(shù),結(jié)合的單調(diào)性和的解析式即可證得題中的不等式成立.
試題解析:(1)的定義域為
設(shè),則等價于
因為
若a=1,則.當0<x<1時,單調(diào)遞減;當x>1時,>0,單調(diào)遞增.所以x=1是的極小值點,故
綜上,a=1
(2)由(1)知
設(shè)
當時,;當時,,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增
又,所以在有唯一零點x0,在有唯一零點1,且當時,;當時,,當時,.
因為,所以x=x0是f(x)的唯一極大值點
由
由得
因為x=x0是f(x)在(0,1)的最大值點,由得
所以
點睛:導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點,所以在歷屆高考中,對導數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出.導數(shù)專題在高考中的命題方向及命題角度:從高考來看,對導數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行:(1)考查導數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系;(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性求參數(shù);(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問題;(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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【題目】下列說法中正確的是( )
A. “”是“”成立的充分不必要條件
B. 命題,則
C. 為了了解800名學生對學校某項教改試驗的意見,用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取一個容量為40的樣本,則分組的組距為40
D. 已知回歸直線的斜率的估計值為1.23,樣本點的中心為,則回歸直線方程為.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上有2個零點,求實數(shù)的取值范圍.(注)
(2)設(shè),若函數(shù)恰有兩個不同的極值點,,證明:.
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【題目】某開發(fā)商用9000萬元在市區(qū)購買一塊土地建一幢寫字樓,規(guī)劃要求寫字樓每層建筑面積為2000平方米.已知該寫字樓第一層的建筑費用為每平方米4000元,從第二層開始,每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加100元.
(1)若該寫字樓共x層,總開發(fā)費用為y萬元,求函數(shù)y=f(x)的表達式;(總開發(fā)費用=總建筑費用+購地費用)
(2)要使整幢寫字樓每平方米的平均開發(fā)費用最低,該寫字樓應(yīng)建為多少層?
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),且,若在上至少存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)求證:對任意的正整數(shù),都有成立.
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【題目】(本小題滿分12分)
在如圖所示的多面體中,四邊形和都為矩形。
(Ⅰ)若,證明:直線平面;
(Ⅱ)設(shè), 分別是線段, 的中點,在線段上是否存在一點,使直線平面?請證明你的結(jié)論。
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【題目】已知橢圓的左右焦點分別為,離心率為,是橢圓上的一個動點,且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線斜率為,且與橢圓的另一個交點為,是否存在點,使得若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在三棱錐中,與都為等邊三角形,且側(cè)面與底面互相垂直,為的中點,點在線段上,且,為棱上一點.
(1)試確定點的位置,使得平面;
(2)在(1)的條件下,求二面角的余弦值.
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【題目】某校有、、、四件作品參加航模類作品比賽.已知這四件作品中恰有兩件獲獎,在結(jié)果揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學對這四件參賽作品的獲獎情況預測如下.
甲說:“、同時獲獎.”
乙說:“、不可能同時獲獎.”
丙說:“獲獎.”
丁說:“、至少一件獲獎”
如果以上四位同學中有且只有兩位同學的預測是正確的,則獲獎的作品是( )
A. 作品與作品B. 作品與作品C. 作品與作品D. 作品與作品
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