Question

（2013•湖南）某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：

X	1	2	3	4
Y	51	48	45	42

這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．
（I）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰 好“相近”的概率；
（II）在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）確定三角形地塊的內(nèi)部和邊界上的作物株數(shù)，分別求出基本事件的個(gè)數(shù)，即可求它們恰好“相近”的概率；
（II）確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率，從而可得年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（I）所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上的作物株數(shù)為12，從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有

C

1 3

C

1 12

=36種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8，∴從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率為

8

36

=

2

9

；
（II）先求從所種作物中隨機(jī)選取一株作物的年收獲量為Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
記n_k為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)（k=1，2，3，4），則n₁=2，n₂=4，n₃=6，n₄=3
由P（X=k）=

nk

N

得P（X=1）=

2

15

，P（X=2）=

4

15

，P（X=3）=

6

15

=

2

5

，P（X=4）=

3

15

=

1

5

∴所求的分布列為

Y	51	48	45	42
P	2 15	4 15	2 5	1 5

數(shù)學(xué)期望為E（Y）=51×

2

15

+48×

4

15

+45×

2

5

+42×

1

5

=46

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概率的計(jì)算，考查分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．