Question

已知向量n=（1，0），點(diǎn)A（0，2），動點(diǎn)P滿足：||比向量在n的方向上的投影多2．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）在P點(diǎn)的軌跡上是否存在兩點(diǎn)B、C，使得AB⊥BC？若存在，求C點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)向量在n的方向上的投影為||cos∠POx，即P點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，又||比向量在n的方向上的投影多2，得出P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于它到直線x=-2的距離，最后根據(jù)拋物線的定義得出所求的軌跡方程；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在這樣的兩點(diǎn)B、C，再利用均值不等式，求出y₂的范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）∵向量在n的方向上的投影為||cos∠POx，即P點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，又||比向量在n的方向上的投影多2，
∴P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于它到直線x=-2的距離，∴P點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)、直線x=-2為準(zhǔn)線的拋物線．
故所求的軌跡方程為y²=4（x+1）．
（2）假設(shè)存在這樣的兩點(diǎn)B、C，設(shè)B（y₁²-1，y₁），C（y₂²-1，y₂），
則=（y₁²-1，y₁-2）=（ y₁-2）（y₁+2，4），
=（y₂²-y₁²，y₂-y₁）=（ y₂-y₁） （y₂+y₁，4），
又AB⊥BC，∴•=0，即（ y₁-2）（ y₂-y₁）[（y₁+2）（y₂+y₁）+16]=0，
即y₂=--y₁=2-（+y₁+2）．由均值不等式得y₂≥10或y₂≤-6．
故存在這樣的兩點(diǎn)B、C，且C點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為 （-∞，-6]∪[10，+∞）．
點(diǎn)評：本小題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)、軌跡方程、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．