Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=，x∈（0，+∞）．設(shè)0＜x₁＜，記曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x₁，f（x₁））處的切線為l
（1）求l的方程；
（2）設(shè)l與x軸交點(diǎn)為（x₂，0），求證：①0＜x₂≤； ②若0＜x₁＜，則x₁＜x₂＜2x₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求直線方程是解決本題的關(guān)鍵，注意點(diǎn)斜式方程的運(yùn)用；
（2）首先求出l與x軸交點(diǎn)，然后運(yùn)用作差比較法證明①，注意二次問題配方法的應(yīng)用，將②進(jìn)行等價(jià)變形是解決本題的關(guān)鍵，注意對(duì)兩根進(jìn)行綜合變形和轉(zhuǎn)化、作差法比較大小的運(yùn)用．
解答：解：（1）依題知，得：f′（x）=-，根據(jù)點(diǎn)斜式可得l的方程為y-，
整理得直線l的方程是 ．
（2）證明：由（1）得 x₂=x₁（2-ax₁）
①由于 0＜x₁＜，所以ax₁＜2，x₂=x₁（2-ax₁）＞0
又x₂-=x₁（2-ax₁）-=，所以，0＜x₂≤；
②因?yàn)?nbsp;x₂-x₁=x₁（2-ax₁）-x₁=x₁-ax₁²=x₁（1-ax₁），且0＜x₁＜，，所以1-ax₁＞0，即x₁＜x₂．
又x₂-2x₁=x₁（2-ax₁）-2x₁=-ax₁²＜0，所以 x₂＜2x₁，
故當(dāng)0＜x₁＜，則x₁＜x₂＜2x₁．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線方程斜率的思想和意識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用點(diǎn)斜式寫直線方程的基本功；考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，考查學(xué)生運(yùn)用作差法比較大小的基本思想，注意不等式的工具作用．