Question

19．已知函數(shù)f（x）=|3x-a|+|3x-6|，g（x）=|x-2|+1．
（Ⅰ）a=1時(shí)，解不等式f（x）≥8；
（Ⅱ）若對任意x₁∈R都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）討論x的范圍，去絕對值符號(hào)解出不等式；
（II）分別求出f（x），g（x）的最小值，令f_min（x）≥g_min（x）解出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=|3x-1|+|3x-6|，
當(dāng)x≤$\frac{1}{3}$時(shí)，不等式為：7-6x≥8，解得x≤-$\frac{1}{6}$，∴x≤-$\frac{1}{6}$，
當(dāng)$\frac{1}{3}$＜x＜2時(shí)，不等式為：5≥8，無解，
當(dāng)x≥2時(shí)，不等式為6x-7≥8，解得x≥$\frac{5}{2}$，∴x≥$\frac{5}{2}$，
綜上，f（x）≥8的解集是（-∞，-$\frac{1}{6}$]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．
（Ⅱ）∵對任意x₁∈R都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴f_min（x）≥g_min（x），
∵f（x）=|3x-a|+|3x-6|≥|3x-a-（3x-6）|=|6-a|，g（x）=|x-2|+1≥1，
∴|6-a|≥1，
解得a≥7，或a≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對值不等式的解法，絕對值函數(shù)的最值計(jì)算，屬于中檔題．