Question

【題目】在四棱錐中，底面為菱形，側(cè)面為等邊三角形，且側(cè)面底面， ， 分別為， 的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： .

（Ⅱ）求證：平面平面.

（Ⅲ）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，且．

【解析】試題分析：（1）要證，只需證明平面即可；（2）連結(jié),因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以,因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，且，由（1）知平面,進(jìn)而證得平面，從而證的平面平面；（3）設(shè)與的交點(diǎn)分別為連結(jié)，因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形， 分別為的中點(diǎn)，所以，設(shè)為上靠近點(diǎn)三等分點(diǎn)，則，所以,進(jìn)而得到平面．

試題解析：解：（1）因?yàn)?/span>為等邊三角形, 為的中點(diǎn),

所以又因?yàn)槠矫?/span>平面,

平面平面, 平面,所以平面,

又因?yàn)?/span>平面,所以.

（2）連結(jié),因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以,因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn),

所以，由（1）知平面,平面,

平面,

又因?yàn)?/span>平面,所以平面平面.

（3）當(dāng)點(diǎn)為上的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）時(shí), 平面.

證明如下：設(shè)與的交點(diǎn)分別為連結(jié).因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形,

分別為的中點(diǎn),所以,設(shè)為上靠近點(diǎn)三等分點(diǎn)，

則,所以,因?yàn)?/span>平面平面

平面.由于平面平面平面,即平面, ,所以平面平面,

平面平面.可見側(cè)棱上存在點(diǎn),使得平面,

且.