【題目】已知A(2,0),B(0,2),,O為坐標(biāo)原點.
(1),求sin 2θ的值;
(2)若,且θ∈(-π,0),求與的夾角.
【答案】(1);(2)
【解析】
分析:(1) 先根據(jù)向量數(shù)量積得sin θ+cos θ值,再平方得結(jié)果,(2)先根據(jù)向量的模得cos θ,即得C點坐標(biāo),再根據(jù)向量夾角公式求結(jié)果.
詳解:(1)∵=(cos θ,sinθ)-(2,0)=(cos θ-2,sin θ),
=(cos θ,sin θ)-(0,2)=(cos θ,sin θ-2),
=cos θ(cos θ-2)+sin θ(sin θ-2)=cos2θ-2cos θ+sin2θ-2sin θ=1-2(sin θ+cos θ)=-
∴sin θ+cos θ=,
∴1+2sin θcos θ=,
∴sin 2θ=-1=-.
(2)∵=(2,0),=(cos θ,sin θ),
∴+=(2+cos θ,sin θ),
∵|+|=,所以4+4cos θ+cos2θ+sin2θ=7,
∴4cos θ=2,即cos θ=.
∵-π<θ<0,∴θ=-,
又∵=(0,2),=,
∴cos〈,〉=,∴〈,〉=.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上均為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)若方程有唯一解,求實數(shù)的值.
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【題目】已知拋物線的焦點為,點在拋物線上,且。
(Ⅰ)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及實數(shù)的值;
(Ⅱ)直線過拋物線的焦點,且與拋物線交于兩點,若(為坐標(biāo)原點)的面積為,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租時間不超過兩小時免費,超過兩個小時的部分每小時收費2元(不足1小時的部分按 1小時計算).有甲、乙兩人獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為;兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為;兩人租車時間都不會超過四小時.
(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率;
(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機(jī)變量,求的分布列.
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【題目】如圖所示,在△ABC中,a=b·cos C+c·cos B,其中a,b,c分別為角A,B,C的對邊,在四面體PABC中,S1,S2,S3,S分別表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面積,α,β,γ依次表示面PAB,面PBC,面PCA與底面ABC所成二面角的大。寫出對四面體性質(zhì)的猜想,并證明你的結(jié)論
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【題目】一個圓柱形圓木的底面半徑為1 m,長為10 m,將此圓木沿軸所在的平面剖成兩部分.現(xiàn)要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,長度保持不變,底面為等腰梯形ABCD(如圖所示,其中O為圓心,C,D在半圓上),設(shè),木梁的體積為V(單位:m3),表面積為S(單位:m2).
(1)求V關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求的值,使體積V最大;
(3)問當(dāng)木梁的體積V最大時,其表面積S是否也最大?請說明理由.
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【題目】已知函數(shù) (為實常數(shù)) .
(I)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值;
(II)當(dāng)時,討論方程根的個數(shù).
(III)若,且對任意的,都有,求
實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】如圖,在四面體中,平面,,,.是的中點,是的中點,點在線段上,且.
(1)證明:平面;
(2)若二面角的大小為60°,求∠BDC的大。
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