Question

（2011•鹽城模擬）（本題文科學生做）如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），A（0，8），直線y=t（0＜t＜8）與線段AF₁、AF₂分別交于點P、Q．
（Ⅰ）當t=3時，求以F₁，F(xiàn)₂為焦點，且過PQ中點的橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點Q作直線QR∥AF₁交F₁F₂于點R，記△PRF₁的外接圓為圓C．
①求證：圓心C在定直線7x+4y+8=0上；
②圓C是否恒過異于點F₁的一個定點？若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程，根據(jù)當t=3時，PQ中點為（0，3），所以b=3，利用F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），即可求得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）①確定直線AF₁：y=2x+8；AF₂：y=-2x+8，求得P（

t-8

2

，t），Q（

8-t

2

，t），R（4-t，0），利用待定系數(shù)法，設(shè)△PRF₁的外接圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，進而可確定圓心坐標，即可證得結(jié)論；
②由①可得圓C的方程，分離參數(shù)，分別令其為0，即可求得定點的坐標．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，當t=3時，PQ中點為（0，3），所以b=3
∵a²-b²=16，∴a²=25
∴橢圓的標準方程為

x2

25

+

y2

9

=1；
（Ⅱ）①證明：直線AF₁：y=2x+8；AF₂：y=-2x+8；
所以可得P（

t-8

2

，t），Q（

8-t

2

，t）
∵直線QR∥AF₁交F₁F₂于點R，∴R（4-t，0）
設(shè)△PRF₁的外接圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則

(4-t)2+(4-t)D+F=0 16-4D+F=0 ( t-8 2 )2+t2+ t-8 2 D+tE+F=0

∴

D=t E=4- 7 4 t F=4t-16

∴圓心坐標為(-

t

2

，

7t

8

-2)
∴圓心C在定直線7x+4y+8=0上；
②由①可得圓C的方程為：x²+y²+tx+（4-

7

4

t）y+4t-16=0
整理可得（x²+y²+4y-16）+t（x-

7

4

y+4）=0
∴x²+y²+4y-16=0，且x-

7

4

y+4=0
聯(lián)立此兩方程解得x=

4

13

，y=

32

13

或x=-4，y=0
∴圓C恒過異于點F₁的一個定點，該點的坐標為（

4

13

，

32

13

）．

點評：本題考查圓錐曲線的綜合，考查橢圓的標準方程，考查圓的方程，考查恒過定點問題，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法，分離參數(shù)法，屬于中檔題．