Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一段圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）要得到函數(shù)y=f（x）的圖象，可由正弦曲線經(jīng)過怎樣的變換得到？
（Ⅲ）若不等式f（x）-m≤2在x∈[0，2π]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的圖象直接得到，A，求出函數(shù)的周期，即可求出ω，利用函數(shù)經(jīng)過(

7π

3

，0)，結(jié)合φ的范圍求出φ的值，即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）由正弦曲線經(jīng)過初相，變換周期，然后變換振幅，即可推出結(jié)果．
（Ⅲ）通過x∈[0，2π]，求出相位的范圍，求出函數(shù)的值的范圍，利用不等式f（x）-m≤2在x∈[0，2π]上恒成立，得到m的不等式，求f（x）-2的最大值，即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由圖象知，A=3，

T

2

=

13π

3

-

7π

3

=2π⇒T=4π，ω=

2π

T

=

1

2

，
將圖象上的點(diǎn)(

7π

3

，0)代人y=f（x）中，
得φ=2kπ-

π

6

，k∈Z，又|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

，
故f(x)=3sin(

1

2

x-

π

6

)．
（Ⅱ）y=sinx的圖象向右平移個單位縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin（x-

π

6

）的圖象，
橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)=sin（

1

2

x-

π

6

），再保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到f(x)=3sin(

1

2

x-

π

6

)；
（Ⅲ）∵x∈[0，2π]，
∴

1

2

x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
則sin(

1

2

x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
從而f(x)=3sin(

1

2

x-

π

6

)∈[-

3

2

，3]
不等式f（x）-m≤2在x∈[0，2π]上恒成立等價(jià)于：m≥f（x）-2在x∈[0，2π]上恒成立，
而f(x)-2∈[-

7

2

，1]，
∴m≥1．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)圖象的平移，正弦函數(shù)的值域的求法，考查基本知識的應(yīng)用，分析問題解決問題的能力．