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隨著環(huán)保理念的深入,用建筑鋼材余料創(chuàng)作城市雕塑逐漸流行.下圖是其中一個抽象派雕塑的設計圖.圖中α表示水平地面,線段AB表示的鋼管固定在α上;為了美感,需在焊接時保證:線段AC表示的鋼管垂直于α,BD⊥AB,且保持BD與AC異面.
(1)若收集到的余料長度如下:AC=BD=24(單位長度),AB=7,CD=25,按現在手中的材料,求BD與α應成的角;
(2)設計師想在AB,CD中點M,N處再焊接一根連接管,然后掛一個與AC,BD同時平
行的平面板裝飾物.但他擔心此設計不一定能實現.請你替他打消疑慮:無論AB,CD多長,焊接角度怎樣,一定存在一個過MN的平面與AC,BD同時平行(即證明向量
MN
AC
,
BD
共面,寫出證明過程);
(3)如果事先能收集確定的材料只有AC=BD=24,請?zhí)嬖O計師打消另一個疑慮:即MN要準備多長不用視AB,CD長度而定,只與θ有關(θ為設計的BD與α所成的角),寫出MN與θ的關系式,并幫他算出無論如何設計MN都一定夠用的長度.
分析:(1)設D在α上的射影為H,過D作DK⊥AC于K,可得AHDK為矩形,計算DH,即可求得BD與α所成的角是30°.
(2)由共面向量的判定定理得到量
MN
AC
,
BD
共面,即可得到結論;
(3)由
MN
=
1
2
(
AC
+
BD
)
,求模長,即可得到結論.
解答:解:(1)設D在α上的射影為H

∵AC⊥α,DH⊥α,∴AC∥∥DH,∴AC,DH共面,
∴過D作DK⊥AC于K,
∴AHDK為矩形,
設DH=h,則(AC-h)2+AH2=CD2,①
由三垂線定理易知BH⊥AB
∴AH2=AB2+BH2=AB2+(BD2-h2)②
將②代入①,得:(24-h)2+72+(242-h2)=252,解得h=12,
于是sin∠DBH=
1
2
,
∴∠DBH=30°,即BD與α所成的角是30°.
(2)由向量加法的三角形法則
MN
=
MA
+
AC
+
CN
MN
=
MB
+
BD
+
DN
,
兩式相加即得
MN
=
1
2
(
AC
+
BD
)

∴由共面向量的判定定理得到量
MN
AC
,
BD
共面.
從而一定存在一個過MN的平面與AC,BD同時平行
(3)∵
MN
=
1
2
(
AC
+
BD
)

|
MN
|2=
1
4
|
AC
|2+
1
4
BD
2
+
1
2
AC
BD
=288(1+sinθ)(單位長度)
∵θ∈(0,
π
2
),
MN
∈(14
2
,28)
,即MN準備28(單位長度)就一定夠用.
點評:本題考查線面角,考查向量知識的運用,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

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科目:高中數學 來源:2012-2013學年四川省成都市樹德中學高二(上)期中數學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

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