Question

若存在過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切,則a等于(　　)

(A)-1或- (B)-1或

(C)-或- (D)-或7

 

Answer 1

A

【解析】【思路點撥】先設(shè)出切點坐標,再根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出切線方程,最后由點(1,0)在切線上求出切點后再求a的值.

解:設(shè)過點(1,0)的直線與曲線y=x3相切于點(x0,),所以切線方程為y-=3(x-x0),

即y=3x-2.

又(1,0)在切線上,則x0=0或x0=,

當x0=0時,由y=0與y=ax2+x-9相切可得Δ=()2-4a(-9)=0,

解得a=-,

同理,當x0=時,由y=x-與y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以選A.

【方法技巧】導數(shù)幾何意義的應(yīng)用

導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率,應(yīng)用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面:

(1)已知切點A(x0,f(x0))求斜率k,即求該點處的導數(shù)值:k=f'(x0).

(2)已知斜率k,求切點A(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k.

(3)已知過某點M(x1,f(x1))(不是切點)的切線斜率為k時,常需設(shè)出切點A(x0,f(x0)),利用k=求解.