Question

（2007•閘北區(qū)一模）有以下命題：
（1）若函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f（x）的值域是{0}；
（2）若f（x）是偶函數(shù)，則f（|x|）=f（x）；
（3）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)非單調(diào)，則f（x）不存在反函數(shù)；
（4）若函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f^-1（x）不完全相同，且有公共點(diǎn)P，則點(diǎn)P必在直線y=x上．
其中正確命題的序號(hào)為（　�。�

A．（1）與（2）

B．（3）與（4）

C．（1）與（3）

D．（4）與（2）

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f（x）=0．（2）利用偶函數(shù)的定義和性質(zhì)判斷．（3）利用單調(diào)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．（4）利用反函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）若函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f（x）=0，為常數(shù)函數(shù)，所以f（x）的值域是{0}，所以（1）正確．
（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以（2）正確．
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

1

x

在定義域上不單調(diào)，但函數(shù)f（x）=

1

x

存在反函數(shù)，所以（3）錯(cuò)誤．
（4）原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，但不一定在直線y=x上，比如函數(shù)y=-

x+1

與其反函數(shù)y=x²-1（x≤0）的交點(diǎn)坐標(biāo)有（-1，0），（0，1），顯然交點(diǎn)不在直線y=x上，所以（4）錯(cuò)誤．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的判定和應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．