【題目】如圖:點(diǎn)P在直徑AB=1的半圓上移動(點(diǎn)P不與A,B重合),過P作圓的切線PT且PT=1,∠PAB=α,
(1)當(dāng)α為何值時(shí),四邊形ABTP面積最大?
(2)求|PA|+|PB|+|PC|的取值范圍?
【答案】
(1)解:∵AB為直徑,
∴∠APB=90°,AB=1,
∵∠PAB=α,
∴PA=cosα,PB=sinα,
又PT切圓于P點(diǎn),∠TPB=∠PAB=α,
∴BC=sinαPB=sin2α,
∴S四邊形ABTP=S△PAB+S△TPB
= PAPB+ PTBC
= sinαcosα+ sin2α
= sin2α+ (1﹣cos2α)
= (sin2α﹣cos2α)+
= sin(2α﹣ )+ ,
∵0<α< ,﹣ <2α﹣ < π,
∴當(dāng)2α﹣ = ,即α= π時(shí),S四邊形ABTP最大
(2)解:|PA|+|PB|+|PC|=cosα+sinα+sinαcosα,
設(shè)t=cosα+sinα,則t2=cos2α+sin2α+2cosαsinα=1+2cosαsinα,
∴cosαsinα= ,
∴|PA|+|PB|+|PC|= +t= +t﹣ ,
∵t=cosα+sinα= sin(α+ )∈1, ],且t=﹣1(1, ],
∴|PA|+|PB|+|PC|= +t﹣ 在t∈(1, ]時(shí)單調(diào)遞增,
則(|PA|+|PB|+|PC|)∈(1, + ]
【解析】(1)由AB為圓的直徑,利用圓周角定理得到∠APB為直角,再由AB=1,表示出PA與PB,根據(jù)PT與圓相切,表示出BC,進(jìn)而表示出四邊形ABTP的面積,整理后,利用正弦函數(shù)的值域及二次函數(shù)性質(zhì)確定出最大值即可;(2)把表示出的PA,PB,PC代入所求式子,設(shè)t=cosα+sinα,可得出t2=1+2cosαsinα,進(jìn)而表示出cosαsinα,代入所求式子整理為一個角的正弦函數(shù),利用正弦函數(shù)的值域及二次函數(shù)性質(zhì)確定出范圍即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示, 是某海灣旅游區(qū)的一角,其中,為了營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境,旅游區(qū)管委會決定在直線海岸和上分別修建觀光長廊和AC,其中是寬長廊,造價(jià)是元/米, 是窄長廊,造價(jià)是元/米,兩段長廊的總造價(jià)為120萬元,同時(shí)在線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處建一個觀光平臺,并建水上直線通道(平臺大小忽略不計(jì)),水上通道的造價(jià)是元/米.
(1) 若規(guī)劃在三角形區(qū)域內(nèi)開發(fā)水上游樂項(xiàng)目,要求的面積最大,那么和的長度分別為多少米?
(2) 在(1)的條件下,建直線通道還需要多少錢?
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【題目】已知點(diǎn)(1,2)是函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象上一點(diǎn),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n)﹣1.
求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了迎接珠海作為全國文明城市的復(fù)查,愛衛(wèi)會隨機(jī)抽取了60位路人進(jìn)行問卷調(diào)查,調(diào)查項(xiàng)目是自己對珠海各方面衛(wèi)生情況的滿意度(假設(shè)被問卷的路人回答是客觀的),以分?jǐn)?shù)表示問卷結(jié)果,并統(tǒng)計(jì)他們的問卷分?jǐn)?shù),把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),…[90,100]后畫出如圖部分頻率分布直方圖,觀察圖形信息,回答下列問題:
(1)求出問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)低于50分的被問卷人數(shù);
(2)估計(jì)全市市民滿意度在60分及以上的百分比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的最大值為( )
A.6
B.22
C.﹣3
D.13
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)榧螦,B={x∈Z|2<x<10},C={x∈R|x<a或x>a+1}
(1)求A,(RA)∩B;
(2)若A∪C=R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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