已知拋物線x2=4y上的點(diǎn)P(非原點(diǎn))處的切線與x軸,y軸分別交于Q,R兩點(diǎn),F(xiàn)為焦點(diǎn).
(Ⅰ)若
PQ
PR
,求λ.
(Ⅱ)若拋物線上的點(diǎn)A滿足條件
PF
FA
,求△APR的面積最小值,并寫出此時(shí)的切線方程.
分析:(I)設(shè)P(t,
t2
4
)(t≠0)
,則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得PR的直線方程為y-
t2
4
=
t
2
(x-t)
,可求Q,R,由
PQ
PR
,代入可求λ
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,PA的方程為:y-1=
t2
4
-1
t
x
,聯(lián)立方程得
y-1=
t2
4
-1
t
x
4y=x2
,解之得A,而S△APR=
1
2
|RF||xp-xA|=
1
2
|1+
t2
4
|•|t+
4
t
|
=
1
2
|
t3
4
+2t+
t
4
|

f(t)=
1
2
(
t3
4
+2t+
4
t
)(t>0)
,通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可求f(t)的最小值及取得最小值時(shí)的t,從而可求切線方程
解答:解:(Ⅰ)設(shè)P(t,
t2
4
)(t≠0)
,則PR的直線方程為y-
t2
4
=
t
2
(x-t)
(切線的斜率k=
t
2
),
令y=0得Q(
t
2
,0)
,令x=0得R(0,-
t2
,4

PQ
=(-
t
2
,-
t2
4
)
,
PR
=(-t,-
t2
2
)

所以λ=
1
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,PA的方程為:y-1=
t2
4
-1
t
x

聯(lián)立方程得
y-1=
t2
4
-1
t
x
4y=x2
,解之得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-
4
t
,
4
t2
)
,S△APR=
1
2
|RF||xp-xA|=
1
2
|1+
t2
4
|•|t+
4
t
|
=
1
2
|
t3
4
+2t+
t
4
|
,
f(t)=
1
2
(
t3
4
+2t+
4
t
)(t>0)
,f′(t)=
1
2
(
3
4
t2+2-
4
t2
)
,
令f'(t)=0得t=
2
3
3
,當(dāng)t∈(0,
2
3
3
)
時(shí),f'(t)<0,當(dāng)t∈(
2
3
3
,+∞)
時(shí),f'(t)>0,
所以,f(t)當(dāng)且僅當(dāng)t=
2
3
3
時(shí)取最小值
16
9
3
,
因?yàn)?span id="qvzx43o" class="MathJye">
1
2
|
t3
4
+2t+
4
t
|是關(guān)于t的偶函數(shù),同樣地,當(dāng)t=-
2
3
3
時(shí),也取得最小值
16
9
3
,
此時(shí)切線PR的方程為y=
3
3
x-
1
3
y=-
3
3
x+
1
3
點(diǎn)評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)的最值及直線與曲線相交關(guān)系的綜合應(yīng)用,屬于綜合性試題
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15、已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F和點(diǎn)A(-1,8),點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),則|PA|+|PF|的最小值為
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(2009•溫州一模)如圖,已知拋物線x2=4y,過拋物線上一點(diǎn)A(x1,y1)(不同于頂點(diǎn))作拋物線的切線l,并交x軸于點(diǎn)C,在直線y=-1上任取一點(diǎn)H,過H作HD垂直x軸于D,并交l于點(diǎn)E,過H作直線HF垂直直線l,并交x軸于點(diǎn)F.
(I)求證:|OC|=|DF|;
(II)試判斷直線EF與拋物線的位置關(guān)系并說明理由.

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(2011•浙江模擬)已知拋物線x2=4y,圓C:x2+(y-2)2=4,M(x0,y0),(x0>0,y0>0)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)若y0=4,求過點(diǎn)M的圓的切線方程;
(Ⅱ)若y0>4,求過點(diǎn)M的圓的兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值.

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